Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 57

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 114 >> Следующая

zja\ п - целое число; у - безразмерная постоянная распространения.
Входящие в (8.1) неизвестные функции радиальной координаты выбираются из
условия удовлетворения уравнений (1.22) гл. 1. При этом получаем
следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
сРФ
dM,
dr2
dMH
dr2
+
+
dr2
сРАг
йгг
1 dA,
Ф= 0,
1
dr
dA,
'0
dr
. 1 dO . ( 2 n2
^Т+Г-7
o2Ar -f- 2nAe - Ar) -(- Р2ЛГ = 6, + -^- (- пгАв + 2 nAt - Лэ) + 02Ле = 0.
i
(8.2)
to <841
145
Здесь обозначено
Первые два уравнения в (8.2), очевидно, имеют следующие решения для
случая сплошного цилиндра:
выраженные через функции Бесселя первого рода п-го порядка.
Для построения решений двух остальных уравнений в (8.2) целесообразно
рассмотреть их сумму и разность. При этом получаем два уравнения
Эти уравнения также решаются через функции Бесселя и соответствующие
представления для Аг и Аэ приобретают вид
После отыскания функций радиальной координаты представления (8.1) будут
содержать четыре произвольные постоянные, т. е. обладать определенной
избыточностью. Вопрос о способах исключения лишней постоянной в решениях,
полученных через векторный и скалярный потенциалы, обсуждался подробно в
главе 1. Пользуясь возможностью поступить в значительной мере произвольно
при выборе значений одной из постоянных, полагаем далее Аг = О, т. е. Аг
- -Ад. Это удобно с точки зрения последующего удовлетворения граничных
условий на цилиндрической поверхности. Отметим также, что избыточность
представления (8.1) можно было бы с самого начала устранить путем
наложения связи на искомые функции Аг и Л0 и тем самым развязать
последние уравнения в (8.2).
Таким образом, компоненты вектора смещений в цилиндре представляются в
виде
Ф (г) = FJn (аг), Аг (г) = AaJn (Рг),
(8.4)
~ сР drа
сР
йгг
Аг(г) = A^Jn-x (рг) + A2Jnjr\ (рг), Лв (г) = AjJn-1 (Рг) - A2Jn+1 (Рг).
(8.6)
dj" (аг) . * - г /о \ , * я
Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные Л2, Л3, F и
удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и
постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических
движений частота определяется источником сил или перемещений, а у
является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье.
Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической
поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для
постоянных А2, А3и F. Условие существования ее нетривиального решения
определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и
со.
В случае свободной от напряжений цилиндрической поверхности г - 1, т. е.
при равенстве нулю на ней нормальных ог и касательных Чгг, Тгв
напряжений, дисперсионное уравнение имеет вид
Уравнение (8.8) для каждого значения п = 0, 1, 2,..., т. е. для движения
с определенным типом симметрии, определяет связь безразмерной частоты Q с
безразмерной постоянной распространения 7 при коэффициенте Пуассона v в
качестве параметра.
Аргументами функций Бесселя в выражениях (8.9) являются
анализа дисперсионного уравнения (8.8) следует, что при любом выборе
ветвей однозначности этих функций само уравнение не меняется. При
вычислениях следует также использовать соотношение
IIя*/II = 0, г, / = 1,2, 3,
(8.8)
где
"и = (я2 - 1 - Q2/2 + у2) Зп (а);
"is = (я2 - 1 - р2) Jn (р); "и = 2(я2- 1) [р/"_• (р) - nJn (Р)1 - р2У"
(Р); а21 = aJn-i (а) - (я + 1 )Jn (а);
а22 = р(р) - (м + 1)7"(Р);
"23 = (2"2 + 2м - у2) Jn (Р) - 2p/n_i (Р);
* "31 " п-1 (") - п (")"
"32 = (1 - ^2/2v2) [РЛ-1 (Р) - nJn (Р)]; "
"83 = n2Jп (Р)-
(8.9)
многозначные функции
Jn (± ix) = (± i)n 1п(х), где /" (х) - модифицированная функция Бесселя.
10*
(8.10)
147
Формальная подстановка Р = 0 в выражениях (8.9) показывает, что
дисперсионное уравнение (8.8) тождественно удовлетворяется. Однако, как и
в случае слоя (см. § 3 данной главы), этому корню дисперсионного
уравнения соответствуют нулевые значения всех компонентов вектора
смещений.
§ 9. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРЕ
Представления компонентов вектора смещений для осесимметричных волновых
движений получаем, полагая в выражениях
(8.9) п - 0. При этом возможны два различных вида движений:
Ur = [- FaJx (аг) + A2iyJt (Рг)] ехр [г (уг - со/)], иг = [FiyJ0 (аг) -
Л2|У0 (Рг)] ехр [г (уг - со/)], (9.1)
Но = о
Я ие = С*МРГ) ехр [г (уг - со/)], ^ ^
иг - иг = 0.
Первый из них связан с распространением продольных волн, а второй -
крутильных волн в цилиндре. Соответствующие дисперсионные уравнения для
этих случаев принимают вид
(О2 - 2у2)2 У0 (а) А (Р) + 4/арУ0 (р) У, (а) -
- 2П2ссУ1(а)У1(р) = 0, (9.3)
РУ0(Р)-2УХ(Р) = 0. (9.4)
Крутильные нормальные волны (9.2) в цилиндре по свойствам очень близки к
SH-волнам в слое. Дисперсионное уравнение (9.4) относительно р имеет
бесконечное число вещественных корней, включая корень р = 0. В последнем
случае й =у и, следовательно, соответствующая нормальная волна не
обладает дисперсией - фазовая и групповая скорости для нее равны с2.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed