Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 54

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 114 >> Следующая

что для первого типа движений в (6.1) и (6.2) ц> ф 0, ау - 0, в то время
как для второго ф = 0, ау Ф 0.
Первый тип движений в (6.1) характеризуется только наличием толщинных
смещений. Частоты Qp = (2р - 1) k являются частотами толщинного резонанса
слоя. Второй тип движений связан с наличием только продольных смещений, а
соответствующие частоты Qe = 2q являются частотами толщинно-сдвигового
резонанса слоя. Аналогично классифицируются типы движений (6.2) для
изгибных колебаний.
Явный вид выражений для смещений можно получить во всех узлах сетки,
использованной на рис. 39 и 42 для построения дисперсионных кривых,
поскольку в этих точках известны точные значения частоты и постоянной
распространения.
138
Приведем для примера выражения для тех значений ?, при которых
дисперсионные ветви продольных мод пересекают линию ОD, т. е. для точек,
определяемых координатами
При этом фазовая скорость всех мод равна сг. Из формулы (2.17)' получаем
В этих точках симметричные волны Рэлея - Лэмба имеют форму, подобную
волнам Гудьера - Бишопа [181]. Они образованы комбинацией продольной
волны с независящим от z потенциалом ср и поперечной волны с
синусоидальным изменением по толщине потенциала ау.
Естественно, что при движении вдоль ветви вектор смещений имеет отличными
от нуля обе компоненты. Для описания особенностей движения в каждой моде
на различных частотах в общем случае была предложена величина С,
названная характеристикой нормальной моды [96, 229], равная отношению
амплитуд в общем выражении (2.2) потенциалов, т. е.
Вычисления, проведенные в работе [229], показывают, что величина С
существенно меняется при движении по дисперсионной ветви, и нельзя
говорить о преимущественном типе движения для той или иной моды во всем
диапазоне частот.
Типы движений (6.1) на частотах запирания имеют характеристику С
соответственно равной нулю или бесконечности. При изменении частоты
каждая (кроме первой) ветвь пересекает линию Q = = 1]/"2. В точках
пересечения имеем следующие выражения для смещений:
в симметричном случае. Этот тип движений известен как моды Ламе. Они
характеризуются нулевыми значениями объемного расширения и касательных
напряжений ххг во всем объеме волновода. Выражения (6.6) и (6.7) получаем
из (2.2) при Фх за 0, т. е. в этом
(6.3)
их = i% [(- 1)" + ~~ cos ] ехр (&)>
(6.4)
(6.5)
их - - iB sin ехр (ilx), иг = В cos -^- ехр (*?*), #
(6.6)
| = 2/и, ?2= 2т У~2, т=1, 2, ...
в антисимметричном случае и
их = iA cos ехр (*?*), ut " A sin ехр (й?), | = 2/и- 1, Q = (2/n- \)V%
m=l, 2, ...
(6.7)
139
случае характеристика С равна нулю уже для всех ветвей, независимо от ее
значения на частотах запирания.
Важно отметить, что в этом случае угол падения у плоских сдвиговых волн,
суперпозицией которых определяется волновое поле, равен 45°. Как
отмечалось в главе 2, это единственный отличный от нормального падения
случай, когда отражение волн от границы происходит без возбуждения волн
иного типа. Ниже показано, что такие моды, связанные с существованием
только SV-волн, очень важны и при изучении установившихся колебаний
конечных тел.
Для предельного случая f -> оо и й -> оо все ветви, за исключением низших
продольной и изгибной, приближаются к асимптоте й = |, оставаясь выше ее.
В этом случае анализ выражений для смещений показывает, что движение во
всех модах является преимущественно сдвиговым с компонентами
. п(п - 1)2 / ^ _
иг ~ sin -*-r-- ехр (i|x), п >• 2,
(6.8)
иг ~ cos31 (2n2h 3) г ехр (ilx), я >2,
соответственно для симметричных и антисимметричных движений. Продольная
составляющая вектора смещений их сильно локализована вблизи границ слоя.
При этом движение связано, по существу, с чистой SV-волной. Если по
формуле (2.3) вычислить углы падения у и 0
cos у = -Jr 1, cos0 = ?-|p>l, (6.9)
то увидим, что при отражении распространяющейся SV-волны вблизи границы
возбуждается неоднородная Р-волна.
Для низших ветвей в обоих случаях симметрии, в связи с тем, что они лежат
ниже прямой й = | при | -*¦ сю, SV- и P-волны становятся неоднородными.
Движение локализуется вблизи поверхностей слоя в виде чисто рэлеевских
волн.
Достаточно большое число данных для кинематических характеристик на
промежуточных частотах приведено в работах [20, 272]. Дополнительные
данные для определенного частотного диапазона рассматриваются в следующем
параграфе.
§ 7. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ-ЛЭМБА.
ЯВЛЕНИЕ "ОБРАТНОЙ" ВОЛНЫ
Как отмечалось в § 5 данной главы, представленные на рис. 43 данные
относятся к распространяющимся модам, соответствующим участкам
дисперсионных кривых при | > 0. В таком случае фазовая скорость волны
положительна, т. е. совпадает с положительным направлением оси Ох. В
связи с этим естественно предположить, что и энергию такие волны
переносят в положительном направлении оси Ох. Хотя, в принципе,
возможность противопо-
140
ложного направления фазовой и групповой скоростей известна давно [206],
наличие такого явления при распространении волн в идеально упругом
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed