Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
волновода для Р- и SV-волн по сравнению с SH-волнами. Как видно из рис.
37 и 39, существует и иное, более важное различие в структуре спектра для
указанных типов волн. Если для SH-волн для каждого значения ?2 имеется
конечное число действительных и бесконечное число чисто мнимых корней
дисперсионного уравнения, то в случае SV- и P-волн это условие не
выполняется. Наряду с конечным числом вещественных корней здесь конечно и
число чисто мнимых корней. В связи с этим более четко выраженной
становится важная роль комплексных корней дисперсионного уравнения для
построения полных наборов частных решений, дающих возможность
удовлетворить граничным условиям на торцах волновода. Исходя из указаний
ряда авторов [96, 288], можно утверждать, что впервые это было отмечено
Кэртисом и развито в работе [153].
При использовании решений, соответствующих комплексным корням, возникают
вопросы, заслуживающие особого внимания. Вектор смещений в слое
схематично представим в виде
u (х, z,t) = U (?, z) ехр [I (1х - со/)], (4.1)
Входящая в это выражение постоянная распространения ? может быть
вещественной, чисто мнимой или комплексной.
В случае вещественных \ выражение (4.1) представляет бегущую волну,
переносящую энергию по слою, причем средний по времени поток энергии в
такой волне не зависит от координаты х, что является естественным для
среды без потерь. Дисперсионное уравнение
(3.1) допускает использование двух значений ?,' различающихся знаками.
Выбор одного из них можно связать с выбором направления переноса энергии.
Соответствующее паре чисто мнимых корней ? = ± it) выражение
(4.1) представляет собой неоднородные волны, не переносящие энергию вдоль
слоя. Разным знакам величины ? соответствуют волны, экспоненциально
убывающие влево или вправо от некоторого фиксированного сечения х =
const. Эти волны по своим свойствам аналогичны неоднородным SH-волнам,
соответствующим чисто мнимым корням дисперсионного уравнения (1.6).
128
Дисперсионное уравнение (3.1) имеет также бесконечное число комплексных
корней, появляющихся четверками по одному в каждом квадранте комплексной
плоскости ? = ±1±гп. Каждому значению ? из такой четверки после
подстановки его в (4.1) соответствует затухающая или возрастающая по
амплитуде бегущая волна. Если при рассмотрении, например,
полуограниченного слоя х > 0 из четырех корней оставить лишь те, которые
определяют решение с убывающей амплитудой, то и тогда рассматриваемое
отдельно для каждого из корней ? = ±|+ it) выражение (4.1) не имеет
физического смысла. Оно представляет бегущую волну с экспоненциально
убывающей амплитудой. Такая волна переносит энергию по слою, хотя средний
поток энергии экспоненциально убывает в ростом х. Это возможно лишь при
наличии поглощения в среде, что противоречит исходной постановке задачи.
Для преодоления указанного противоречия между свойствами среды и
структурой частотного решения уравнений необходимо так сгруппировать две
бегущие навстречу друг другу волны
Ui == U (| + ir), z) ехр [-щ + i (|х - art)],
(4.2)
u2 = U (- ? + ir), z) ехр [- \]х - i (?х+ atf)],
чтобы получить стоячую волну с экспоненциально убывающей амплитудой.
Такое решение уже не противоречит физическому смыслу задачи, поскольку
стоячая волна энергию не переносит. Именно ети объединенные решения и
используются при удовлетворении граничных условий на торцах
полубесконечного слоя.
Первым этапом в определении комплексных ветвей дисперсионного уравнения
(3.1) является поиск точек их пересечения с плоскостью ?2 - 0. Если
непосредственно подставить в (3.1) величину
?2 - 0, то получим тождественный нуль. Однако это не означает,
что любое комплексное значение ? является корнем дисперсионного уравнения
при ?2 = 0. Ситуация здесь точно такая же, как и в рассмотренном выше
случае для Р = 0. При этом поиск доставляющих нетривиальное решение
корней уравнения (3.1) при ?2 = 0 сводится к поиску двукратных корней
этого уравнения. В связи с этим необходимо рассмотреть уравнение
0) = 0. (4.3)
Такая запись уравнения отражает тот очевидный факт, что
функция F (?, ?2) является, по существу, функцией от ?22. Учитывая, что
при ?2 = 0 a = Р = i?, из уравнения (4.3) получаем
sh л? -+- л? = 0. (4.4)
Это уравнение совпадает с уравнением для определения собственных чисел
однородных решений в статических задачах для слоя [80, 137]. Характерной
особенностью данного уравнения является независимость его корней от
коэффициента Пуассона v.
9 1841
129
Таблица 5
п Корни уравнения (4.4)
t
1 0,716 1,341
2 0,988 3,409
3 4,129 5,433
4 1,241 7,448
5 1,303 9,457
Первые пять корней уравнения
(4.4) ?" *= L + *Лп приведены в табл. 5.
Для нахождения последующих корней можно использовать асимптотические
формулы
|" = -^1п(4пл - л), (4.5)
1
Т1П"2 п- -g-.
Для определения углов наклона ср комплексных ветвей в точках пересечения
с плоскостью ?2 = 0 имеем соотношение
<4-б>
Из дисперсионного уравнения получаем, что для каждой ветви выполнено
