Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
g = 2m-1, fi = (2т-1)1/2. (3.8)
Отметим, что эти корни не зависят от коэффициента Пуассона v.
120
Рис. 39,
Рассмотрим второе уравнение системы (3.2). В первом квадранте оно
определяет семейство гипербол
= (/> = 1,2, ...), (3.9)
а во втором квадранте - семейство эллипсов
-^-02 + Л2 = (2р-I)2 (/>=1,2, ...). (3.10)
|Если теперь обратиться к соотношениям (3.3), то из первого из них (| =
0) следует, что корнями дисперсионного уравнения (3.1) являются точки
|=0, ?2 = (2p - \)k. (3.11)
Такие частоты, как уже отмечалось в § 1 данной главы, называются
частотами запирания.
Очевидно, что пересечение кривых (3.9) и (3.10) с прямой Р = 0 или с
системой кривых (3.4) и (3.5) не существуют.
Системы кривых (3.6), (3.7) и (3.9), (3.10) имеют ряд точек пересечения
|mp (iimp), ?2тр, определяемых уравнениями
cos= 0, cos - 0. (3.12)
Третье уравнение в (3.2) определяет систему гипербол
Q2_|2 = (2(?)2 ((?=1,2,...) (3.13)
и прямую 0Е ?2 = | в первом квадранте. Во втором квадранте имеем систему
окружностей
Я* + Л2 = (2?)2 (7=1,2,...). (3.14)
Точки пересечения оси абсцисс f = 0 с системой кривых (3.13),
(3.14) являются корнями уравнения (3.4). Таким образом, точки
|=0, ?3 = 27 (3-15)
представляют собой частоты запирания некоторых ветвей дисперсионного
уравнения.
Уравнение р = 0 в (3.3) формально приводит к тому, что все точки прямой
?2 = | являются корнями уравнения (3.1). Однако из выражения (2.17)
видно, что как при его выводе, так-и при выводе самих дисперсионных
уравнений, по сути, предполагалось, что Р=?М). В связи с этим к изучению
такового соотношения между \ и ?2, когда Р = 0, следует подойти особо.
Рассмотрим характер смещений для таких корней. Поскольку выражения (2.17)
не могут использоваться непосредственно, то следует вернуться к исходной
системе (2.7), в которой теперь sin у = 0, а следовательно, Tss = -1, Г5р
= 0. Второе уравнение в (2.7) дает Ф2 =з 0. При этом из соотношений (2.2)
и
(2.4) следует, что мы имеем тривиальное решение с равными нулю
122
смещениями во всех точках волновода. Однако это не означает, что на
прямой ?2 = | нет точек дисперсионных кривых. Полагая, что Р = 0 является
корнем уравнения (3.1) кратности выше единицы, можно убедиться в
существовании таких точек и найти их координаты.
Заменяя в (3.1) величину sin ур- на -у-, сокращая выражение на р и
полагая затем Р = 0, получаем уравнение
1~ж- (ЗЛ6>
Это уравнение имеет единственный корень. На прямой 0? рис. 39 он указан
треугольником
Последний набор точек - корней дисперсионного уравнения
(3.1) - определяет совокупность точек пересечения кривых (3.13),
(3.17) с кривыми (3.4), (3.5). Эти точки имеют координаты |,л (^п) и
?2в", одновременно удовлетворяющие уравнениям
sin -у^- = 0, sin ~~ = 0. (3.17)
Система кривых, описываемых уравнениями (3.4) - (3.7), (3.9), (3.10) и
(3.13), (3.14), образует в двух квадрантах (|, ?2) и (г), ?2) некоторую
сетку, разбивающую всю плоскость на криволинейные четырехугольники. Эту
сетку иногда называют "решеткой Миндли-на" [280].
Решениями дисперсионного уравнения являются две из четырех вершин каждого
четырехугольника. Одна из них является точкой
СИХ uJT
пересечения кривых sin -у- = 0 и sin -у- = 0, которым на рис. 39
соответствуют тонкие сплошные линии сетки. Вторая есть результат
пересечения кривых семейств cos = 0 и cos = 0 (на
рис 39 - штриховые линии). Кроме того, решениями являются система точек
(3.8) и набор частот запирания (3.11) и (3.15).
Важным моментом в общем ходе построения дисперсионных ветвей является
естественное предположение об их непрерывности. Для фактического
построения ветвей важно следующее обстоятельство Каждая дисперсионная
ветвь может войти внутрь криволинейного четырехугольника только через
вершину типа (3 12), а выйти только через вершину типа (3.17) и наоборот.
Для обоснованного описания хода дисперсионной ветви в окрестности
известных решений дисперсионного уравнения - вершины сетки необходимо в
этих точках вычислить углы наклона касательной d?2/<2| или dQ/dr\ и
кривизны d2Q/d|2 или d2?2/drf.
Характер вычислений для действительных значений | и их использование при
построении спектра рассмотрим применительно к найденным точкам (3.11) и
(3.15) на оси! 83 0, т. е. для частот запирания.
123
Разлагая неявную функцию F (?, ?2) в ряд Тэйлора в окрестности точки (0,
?20). где ?20 принимает одно из значений частоты запирания Qp (3.11) или
?29 (3.15), о точностью до членов второго порядка находим
При этом считаем, что уравнение (3.1) определяет непрерывный участок
дисперсионной ветви, проходящей через точку (0, ?20), и все производные
вычисляются именно для этой ветви. Для обозначения соответствующих
частных производных используются символы F|, F|| и т. д.
Соотношение (3.18) при Fа (0, ?20) Ф 0 служит для нахождения первой
производной d?2/df, а (3.19) - для определения второй производной d?Q/d|2
в точке (О, Q0) определенной ветви.
Входящие в эти соотношения частные производные функции F (I, ?20)
