Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 53

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 114 >> Следующая

определяются равенствами
j (ахих - o*xtix + ixzul - тхгиг) dz,
-ft
Е = рсо2 ( (ихих + uju*z) dz.

Тогда скорость переноса энергии (групповая скорость)
Wx
(5.12)
(5.13)
Такое определение групповой скорости очень важно с точки зрения раскрытия
ее физического смысла. В частности, здесь существенно то, что речь идет о
переносе энергии через все сечения волновода При практических вычислениях
групповой скорости можно не использовать формулы (5.12) и (5.13), а,
основываясь на общих выводах работ 1163, 278, 279], исходить
непосредственно из дисперсионных уравнений
dQ Са -Г-
* Jf
(5.14)
Исходя из соотношений (2.15) для смещений, путем достаточно громоздких
выкладок можно убедиться в совпадении выражений (5.13) и (5.14) для
групповой скорости.
135
Так же как для фазовых скоростей, используя (5.14), можно вычислить
значения групповых скоростей для крайних значений больших и малых f. Из
соотношений (5.5) следует, что значение групповой скорости низшей ветви
для малых частот определяется равенствами _________
4 - 2с2 /1 р- + О (I2).
------------------------------- (5.15)
С7 = 2яс2! |/ (1----?а-) + О (1(r)).
Отсюда, в частности, следует, что в низкочастотном пределе симметричные
волны в слое являются бездисперсионными. Групповая и фазовая скорости
равны между собой и равны так называемому значению пластиночной скорости.
Что касается антисимметричных (изгибных) волн в слое, то для них всегда
имеет место дисперсия, причем в области малых частот групповая скорость
вдвое превосходит фазовую.
Для остальных ветвей в обоих случаях симметрии групповая скорость на
частотах запирания равна нулю. В исключительном случае совпадения частот
запирания двух соседних мод величина dQ/d| по формуле (3.25) однозначно
не определена. Здесь групповую скорость нужно вычислять по основной
формуле (5.13). Для стоячей волны (1 = 0) поток мощности Wx равен нулю.
Поэтому и в данном случае групповая скорость (скорость переноса энергии)
равна нулю.
Исходя из асимптотического выражения cf = cj - Cr для дис. персионного
уравнения для первой ветви и используя (5.3), находим> что при | -> ОО
4 - Cg = Cr. (5.16)
Аналогичный результат равенства предельных значений при 1 оо фазовых и
групповых скоростей
4 = Cg = с2 (5.17)
легко получить для остальных ветвей. При этом удобно использовать формулы
(5.3) и (5.9). В высокочастотном пределе все нормальные волны в слое
становятся бездисперсионными.
Для промежуточных значений 1 поведение групповых скоростей более сложно,
чем фазовых. Подробное исследование поведения величины cg в зависимости
от й для v = 0,25 выполнено в работе [280]. Некоторые данные из этой
работы приведены на рис. 44, где показаны зависимости групповых скоростей
cf (рис. 44, а) и cj (рис. 44, б) от величины Н для первых двух
ветвей (соответственно кривые 1 я 2). Видна сильная
зависимость этих скоростей от Q,
а также четко выраженные относительные максимумы и минимумы. С ростом
номера ветви количество таких относительных экстремумов
136
Рве. 44.
увеличивается. Это видно из рис. 45, где приведена групповая скорость 50-
й моды для продольных (сплошная линия) и изгибных (пунктирная линия)
типов движения. Отметим, что максимальное значение cg равно скорости
продольных волн сх.
Вычисление скорости сг согласно формуле (5.2) приводит к возникновению
отрицательных участков на графике ее зависимости от Q. Связанное е этим
явление, получившее название "обратной" волны и выражающееся в различии
знаков величин ср и cg, обсуждается в § 7 данной главы.
137
§ б. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ - ЛЭМБА.
КИНЕМАТИКА РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ МОД
После решения дисперсионного уравнения появляется возможность вычислить
распределение смещений и напряжений для каждой моды при любой частоте. Мы
остановимся здесь лишь на анализе свойств распространяющихся мод,
формирующих поле на большом расстоянии от источника.
Уже отмечалось, что в отличие от случая SH-волн, где распределение по
толщине всех факторов не зависит от частоты, в общем случае при движении
по определенной дисперсионной ветви кинематика продольных и изгибных
нормальных мод существенно меняется. Однако о свойствах мод можно
составить довольно полное представление, если рассмотреть их на некоторых
определенных частотах.
Наиболее просто получить характеристики мод на частотах запирания. В этом
случае как продольные, так и изгибные движения в слое описываются
вектором смещения, компоненты которого зависят лишь от толщинной
координаты. Из выражений (2.17) для симметричного случая на частотах
запирания предельным переходом при 1 -> 0 имеем следующие типы движений:
их = 0, иг= A- 1} , Qp = (2p - l)k,
(6.1)
их = В cos г, иг = 0, Qe = 2q.
Аналогичные выражения для антисимметричного случая получаются из (2.18):
их = 0, иг - Аг cos ^--г-, = 2pk,
рпг
, <*///?,
(6.2)
их = Вх sin ¦ {2q- , ы,== 0, й"= 2q - 1.
Если эти выражения соотнести с выражениями для потенциалов
(2.1), из которых в общем случае формируется вектор смещений, то увидим,
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed