Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
//•-ai с волнами ф2 и а^г- Схематически
такая ситуация показана на
' SoVt \5уг______ рис. 38. Дальнейшая конкретиза-
. _ х ция выражений (2.2) связана с
///у//////2///////////////////////// определением зависимости одно*
го из углов у или 0 от частоты Рис- 381 и с установлением связи
меж-
ду амплитудами потенциалов на основании условий симметрйи волнового
поля по координате г.
Для симметричного волнового поля, очевидно, иг (х, 0) = 0, для
антисимметричного случая на срединной плоскости г = 0 обращается в
нуль напряжение ог. После вычисления соответствующих
(2.1) и (2.2) смещений и напряжений из указанных условий выте-
кает, что в симметричном случае
ф1 = ф2, Л^-Л,, (2.4)
а в антисимметричном
Ф1 = - Ф2, А1 = Л2. (2.5)
Вместе с тем, анализируя приведенную на рис. 38 картину отражения от
свободной границы слоя г - h с использованием коэффициентов отражения
(1.9) и (1.13) главы 2, получаем следующую систему уравнений:
Ф2 ехр (- ikph sin 0) = ГРРФ1 ехр (ikPh sin 0) + Гр*/^ ехр (iksh sin у),
(2.6)
Л2 ехр (- iksh sin у) = Г5рФх ехр (ikph sin 0) + Г58ЛХ ехр (iksh sin у).
Используя, например, соотношение (2.4), приходим к однородной системе
уравнений для Фх и Лх:
Ф2 {ехр (- ikph sin 0) - Грр ехр (ikph sin 0)} - Л1Гр8 ехр (iksh sin у) =
О
(2.7)
ФХГsp ехр (ikph sin 0) + Лх {rss ехр (iksh sin у) + ехр (-iksh sin у)} =
0.
Условие существования нетривиального решения этой системы определяет
искомое соотношение между частотой и углом 0 (или у). С учетом равенств
Грр = rss, Грр - ГpSrSp = 1 (2.8)
это условие приобретает вид
sin [h (kp sin 9 + k's sin y)l _
sin [h (kp sin 0 - ks sin y)] pp' ( • )
Для антисимметричного случая справедливо равенство
sin [h (kp sin 0 4* ks sin y)]
sin [h (kp sin 0 - ks sin y)]
116
Грр. (2.10)
Раскладывая числитель и знаменатель в левых частях этих равенств и деля
числитель и знаменатель на произведение cos (kph sin 0) X X cos (ksh sin
7), получаем
tg (ksh sin v) 1 + rpP
tg (kph sin 0) 1 - Tpp
для симметричного случая и
tg (,ksh sin у) * - грр •
tg (kph sin 0) I + Г
(2.11)
(2.12)
pp
для антисимметричного случая.
Используя выражения (1.9) главы 2 для величины Грр, соотношения (2.11) и
(2.12) соответственно можно представить в форме, полученной Рэлеем и
Лэмбом, а именно
tg №SW - (Eft)2]7*} _ _ 4 (gh)" цкрк)* - тч1'* [(kshf -t tg {[(kph)2 -
(g/1)2]Ve} [(ksh)2 - 2(lh)2]2 *
tg {l(kshy - Hhfp') l(ksh)2 - 2 (g/1)2]2______ ^
tg {[(kphf-m*}1/'} = - 4 m2 i (kph)2 - m4h m^2- m2tu • -
Последующие выкладки, связанные с изучением свойств дисперсионных
уравнений, а также характеристик нормальных мод, удобнее проводить с
использованием безразмерных величин для постоянной распространения и
частоты. Эти безразмерные величины f и й задаются равенствами
i = = (2Л4>
Для аргумента тригонометрических функций при этом удобно ввести следующие
обозначения:
^ R /02_____йч*/. "-" о 1 v
а = , р = (й2-|2)*'', k2 = 2-^. (2.15)
В данных обозначениях уравнения (2.13) приобретают вид
(2?2 - й2)2 cos ~ sin + 4apf2 sin cos = О,
22 22 (2 16)
(2|2 - Й2)2 sin c°s + 4ap|2 cos sin = 0.
Для вычисления значений функций в (2.16) следует указать правила
определения неоднозначных функций аир. Непосредственной проверкой можно
установить, что при последовательной перемене знака в какой-либо из этих
функций равенства (2.16) не нарушаются .
Выражения для потенциалов (2.2) с учетом равенств (2.4) и (2 5)
используются для записи смещений в нормальных волнах.
ш
Нормированные выражения смещений можно представить в следующем виде:
= / Вя ПОИ I2 - Р2
и, = й ^COS -V COS ^ cos
( ря . яаг . |2 - p2 ая . ярг \ . _ .
M* = -(a cossin2p-^~ cos - sin J exp (ilx)
для симметричного типа движений и
•г I . ря . яои I2 - В2 . ая . яРг \ , ... .
и, = II sin -L- Sin -fr- - 5-pL sin - sm I exp (&),
/ - ; (2.18)
иг = (a sin Jj- cos ^ Ц- sin cos exp (i?x)
для антисимметричного.
Выражения (2.17) и (2.18), характеризующие смещения в нормальных модах
волновода, достаточно сложны. В отличие от SH-волн в слое распределение
по толщине смещений для каждой моды Рэлея-Лэмба зависит от частоты или
постоянной распространения Поэтому сколько-нибудь полный анализ этих
соотношений можно провести лишь после изучения решения дисперсионных
уравнений
(2.16).
§ 3. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ
РЭЛЕЯ - ЛЭМБА. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И МНИМЫЕ КОРНИ
Как уже отмечалось, первые числовые результаты при анализе уравнений
(2.13) были получены Лэмбом [208], который вычислил вещественные корни
для области низких чистот. В предельном случае коротких длин волн он
отметил стремление фазовой скорости первой нормальной волны для
продольных (симметричных относительно плоскости г = 0) и изгибных
(антисимметричных) колебаний к скорости волны Рэлея для полупространства.
Первые работы по исследованию корней трансцендентных уравнений (2.13) в
высокочастотной области выполнены Холденом [190] для продольных мод и
вещественных волновых чисел. Он предложил эффективный метод исследования
