Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенные экспериментальные данные достаточно интересны также с точки
зрения оценки возможности модели бесконечного упругого слоя при анализе
волновых процессов в конечных телах.
Согласно энергетическому определению групповой скорости
142
(5.12) ее знак совпадает со знаком средней за период осевой
составляющей вектора потока мощности Wx В связи g этим определенный
интерес представляет рассмотрение локальной и суммарной по сечению
величины потока мощности как характеристики нормальной моды. Особенно
любопытно провести такое рассмотрение в области обратной волны для второй
(точнее, третьей) ветви продольных мод (рис. 48). Мы проанализировали эту
область для v = 0,17 (k - 1,587, Q* = 1,514) и значения частоты Q0 =
1,528 При этом значение ?3 = 0,441 соответствует ниспадающему участку
ветви, а |2 = 0,741- восходящему. На рис. 49 представлено распределение
по толщине безразмерных смещений (отнесенные к итах) и безразмерных
напряжений (отнесенные к атах) и плотности потока мощности Рх для !3 =
0,441 ("обратная" волна). Аналогично на рис. 50 для 12 = 0,741 приведены
те же характеристики, но для прямой волны.
Наибольшее различие между этими двумя типами движений проявляется,
естественно, при сопоставлении распределения по толщине слоя средней за
период плотности потока мощности. Если для I = |2 суммарный поток по
толщине, очевидно, положителен, то для 1 = |3 он отрицателен. Это,
разумеется, согласуется со значением групповой скорости на
соответствующих участках дисперсионных кривых. Важным, однако, здесь
является то, что в обоих случаях в сечении слоя существуют точки с
противоположным направлением потока энергии. Дальнейшие вычисления
показывают, что такая ситуация характерна для различных \'Частков всех
мод, кроме низшей, однако везде суммарный поток Wx по сечению
положителен. На рис. 51 показана часть дисперсионного спектра для v = =
0,35. Такое значение коэффициента Пуассона использовалось в работе [228]
при сопоставлении теоретических и экспериментальных данных для
алюминиевых полос. Полужирными линиями на рис. 51 выделены участки
ветвей, для которых имеются локальные отрицательные значения Рх.
Проведенный анализ процесса переноса энергии в бесконечном слое указывает
на существование трудностей при попытке формулировать для упругих
областей такого вида условия излучения [8,
143
2
X
2
s
<iz
-¦7 " b
и* с-- -<
Рис. 49.
2
Ц2 ^
X
г
S 32
1- ) -. X
г t
* ! U-ч м
Рис. 50.
Z
At s 1
V *
1 -V-4
17]. По-видимому, эти условия не могут быть сформулированы в виде
некоторых общих ограничений на выражения для вектора смещений, как в
случае бесконечного пространства [74]. Здесь для каждого значения частоты
необходимо установить количество распространяющихся мод в слое и отобрать
моды, обеспечивающие перенос энергии от источника. Такое требование
нельзя выполнить, анализируя лишь фазовые скорости нормальных волн.
§ 8. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Построение дисперсионных соотношений для распространяющихся волн в
цилиндре, естественно, нельзя выполнить на основе данных об отражении
волн от плоской границы полупространства. Для вывода этих соотношений
способом, аналогичным предложенному в § 1 и 2 данной главы, необходимо
детальное решение довольно сложной задачи об отражении плоских волн от
цилиндрической границы. Поэтому при рассмотрении волновых движений в
цилиндре проще исходить из набора частных решений уравнений Ламе в
цилиндрических координатах. Такие наборы впервые были построены в работах
Похгаммера [252] и Кри [168].
Далее, начиная с 40-х годов нашего века было выполнено много
исследований, посвященных изучению волновых движений в цилиндре.
Количество работ в этой области, пожалуй, значительно превосходит число
публикаций для рассмотренной выше задачи о слое. Основные этапы истории
вопроса отражены в обзорах [96,
144
224, 231]. Интерес к такому объекту, как цилиндр, стимулировался
практическим значением геометрии волновода, с одной стороны, и
возможностью в рамках одного набора решений изучить ряд вопросов о
влиянии кривизны, толщины стенок (полый цилиндр), типа симметрии движений
на характеристики волнового поля - с другой.
При построении представлений для компонентов вектора перемещений в
цилиндре 0 ^ /у ^ а, | | < с" исходим из уравнений
(1.22) гл. 1 для скалярного <р (г, 0, г, t) и векторного а (г, 0, z,
t) потенциалов. Геометрия объекта и естественное предположение о
характере волнового движения вдоль оси Ог позволяют в значительной мере
предугадать форму искомых скалярной и векторной функций. Они должны
представлять бегущие вдоль оси Ог волны
(cos П0
(8.1)
Рис. 51.
Ф (г, 0, г, 0 = Ф (г) sjn ехр [i (уz - (ot)],
(sin"0)
ar (г, "1 z, t) = Ar (r) Jcos tt0J exp [i (yz - c#f)l.
ae (r, 0, 2, t)
az (r, 0, 2, t)
(COS Я0
; A% (r)
sin n0
exp [i (yz - (c)01*
(sin n0)
Здесь введены и далее использованы безразмерные координаты г = rja, z =
