Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсионных ветвей. Именно эти вещественные участки подробно
рассматриваются в данном параграфе.
Наиболее доступной для изучения характеристик распространяющихся мод
после построения спектров (см. рис. 39 и 42) является фазовая скорость
ср. В каждой точке ветви она определяется как
со ?3
ср = ~ ~~ "|" • (б. 1)
Групповая скорость cg распространяющихся мод согласно кинематическому
определению задается равенством
dco dQ
сг = -дГ = с^ (5.2)
и представляет собой тангенс угла наклона касательной к действительному
участку ветви в данной точке.
Часто при изучении волноводного распространения фазовую скорость для
каждой ветви представляют в виде зависимости с. = = ср (Ю- Тогда для
вычисления групповой скорости имеем формулу
cg = cp+l^. (5.3)
132
Как для симметричного, так и для антисимметричного случая в^особом
положении оказывается первая ветвь, проходящая через начало координат | =
О, ?2 - 0. Соответствующие моды оказываются распространяющимися при любой
частоте. Для анализа скоростей этих мод при малых частотах в окрестности
начала координат можно существенно упростить дисперсионные уравнения
(3.1) и (3.26) за счет малости величин |, ?2, а, р. При этом
соответственно для симметричного и антисимметричного случаев с точностью
до величин I3 и I4 получаем
?J = 2S]/1-TbB = '"'l/(i-Tr)-r- <5-4>
В таком виде дисперсионные соотношения совпадают с соотношениями,
описывающими поведение продольных и изгибных волн в тонких пластинах на
основе приближенных теорий [68] Они дают хорошую аппроксимацию нижнего
участка первой вещественной ветви частотного спектра в диапазонах 0 ^ ?2
^ 0,5 и 0 ?2 ^ 0,1
соответственно.
Если соотношения (5.4) представить в обозначениях фазовой скорости, то
получим
cf = 2ct j/~ 1--ЯГ + 0(|2), ^ = лс21|/ 4(1-ж)+°(13)-
(5.5)
Здесь и далее индексами + и - у величин ср и cg будем обозначать
симметричный и антисимметричный случаи деформирования слоя.
При f = 0 находим
cf (0) = 2с2 У1 - 4-. cj (0) = 0. (5.6)
Для всех остальных вещественных участков дисперсионных ветвей характерно
наличие частот запирания. Это означает, что для всех соответствующих волн
при стремлении | к нулю фазовые скорости стремятся к бесконечности.
При изучении поведения действительных ветвей при больших частотах следует
отметить, что на любой ветви при стремлении ?2 к бесконечности
одновременно стремится к бесконечности постоянная распространения |.
Иными словами, с увеличением ?2 для каж-
" 4А
дои ветви уменьшается длина распространяющейся волны А = -|-.
Для оценки предельных значений фазовых скоростей в этом случае обратимся
вновь к рис. 39 и 42. При рассмотрении рис. 39 отмечалось, что лишь одна
низшая ветвь может попасть в зону ?2 < < |, в которой обе величины
аир являются чисто мнимыми. При
| -> оо вдоль ветви имеем |а|->оо и |р | -> оо ив пределе из
(3.1)
133
получаем алгебраическое уравнение
(2f2 - П2)2 - 4 ] а 11Р | f* =D,
(5.7)
где
(5.8)
После деления уравнения (5.7) на ?4 получаем
(5.9)
В такой форме это уравнение совпадает с уравнением (3.5) главы 2 для
скорости волны Рэлея. Аналогичный результат получается из (3.26) для
первой ветви в антисимметричном случае.
Таким образом, для обоих случаев симметрии фазовая скорость первой
распространяющейся моды имеет в коротковолновом пределе значение скорости
волн Рэлея. Для симметричных движений величина ct все время остается
больше с%, а для антисимметричных - меньше. На рис. 39 и 42
соответствующая этим ветвям асимптота обозначена прямой OR.
При анализе поведения остальных ветвей следует > честь, что каждая из них
при достаточно больших значениях | попадает и остается в секторе ОЕ - ОD
(см. рис. 39, 42). В этом секторе а - мнимое, a Р - вещественное. В связи
с этим уравнение (3.1) преобразуется к виду
Единственным решением этого уравнения, согласующимся со смыслом задачи
(ср -> const при | -> оо), является решение ср = с2. Скорость приближения
к предельному значению и оценку величин ct и Ср для п-й моды (п - 1, 2,
...) можно получить по формулам
Для промежуточных значений I характер зависимости фазовых скоростей
первых двух продольных и изгибных мод от | при v = = 0,25 представлен на
рис. 43, а, б (соответственно кривые I и 2).
Ветви с более высокими номерами имеют террасоподобные участки в
зависимости ср от | вблизи clt что довольно хорошо видно в структуре
спектра (см. рис. 39 и 42) вблизи линии 0D.
(5.10)
120]
134
С точки зрения энергетического анализа процесса распространения
возмущений в слое более важной по сравнению с фазовой является групповая
скорость. Применительно к рассматриваемому случаю упругого слоя и
гармонического процесса энергетическое определение групповой скорости
(скорости переноса энергии) дается как отношение среднего за период
потока мощности (проекции Wx на ось Ох вектора Умова) через поперечное
сечение слоя единичной ширины к средней по объему на длине волны
плотности энергии Е. Для гармонического процесса эти величины
