Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 47

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 114 >> Следующая

свойств корней дисперсионных уравнений Аналогичный метод был независимо
развит и широко использован в ряде работ Миндлина иОноэ. В работе [236]
приведено краткое изложение сути метода и дан обзор результатов других
исследователей.
Сложную зависимость, характеризующую свойства нормальных волн (мод) в
слое, обычно представляют графически в декартовой системе координат с
абсциссой 1 и ординатой Q.
Набор корней дисперсионного уравнения на такой плоскости образует систему
кривых, которые называются ветвями частотного спектра. Каждый корень
соответствует определенной точке на оп-
ccjz 3x62 I . "о \ - cos ) ехр {ilx),
118
ределенной ветви. И наоборот, каждая точка ветви определяет моду
волнового поля в слое. Моды, соответствующие одной и той же ветви,
обладают определенными общими характерными чертами. Моды, принадлежащие
разным ветвям, имеют значительные различия в этих характеристиках.
Уравнения (2.16) инвариантны по отношению к замене величины f на -f. В
связи с этим во втором квадранте плоскости (f, Q) строятся участки
ветвей, соответствующие чисто мнимым 1 = гц значениям постоянной
распространения. Несмотря на то что с мнимыми и комплексными корнями
дисперсионных уравнений (2.16) распространяющиеся моды бесконечного
волновода не связаны, они играют важную роль при решении краевых задач
для полубесконечных волноводов и при изучении вынужденных движений
бесконечных волноводов. Конкретное определение мнимых и комплексных
корней выполнено в работах [155, 217, 236].
Трансцендентные уравнения (2.16) и другие подобные уравнения, во никающие
в родственных задачах о волноводном распространении, представляются не
очень сложными для проведения вычислений с помощью современных ЭВМ. При
этом рассматриваемая плоскость (|, Q) может быть покрыта системой точек -
корней дисперсионных уравнений, вычисленных практически с любой
точностью. Однако такой процесс может быть связан с большими затратами
времени, и, кроме того, представленная в такой форме информация мало
полезна, поскольку она не систематизирована. В связи с этим большое
значение для систематизации расчетных данных и уменьшения объема
вычислений имеют методы качественного анализа дисперсионных соотношений,
развитые в работах [109, 236, 249]. Структура спектра и поведение
соответствующих мод в значительной мере проясняются также асимптотическим
анализом, развитым в работах [25, 103].
Спектральные кривые целесообразно построить раздельно для симметричного и
антисимметричного случаев. Основные элементы техники качественного
анализа, развитого в указанных выше работах, мы проиллюстрируем на
примере продольных мод в слое. Соответствующее уравнение из (2.16)
целесообразно представить в следующем виде:
F (I, Q) (2|2 - Q2)2 cos sin + 4сф12 sin ~ cos -f- = 0. (3.1)
Первый квадрант плоскости, на которой изображаются дисперсионные кривые в
соответствии с характером функций в уравнениях (2.16), целесообразно
разделить на три сектора прямыми а = 0 (Q = kQ и р = 0 (й = g). В
секторе, где Q < |, величины а и Р мнимые. В секторе f < Q < величина а
мнимая, а р вещественная. В секторе Q > Щ обе величины аир являются
вещественными. В соответствии с формулами (2.17) и (2 18) разным в этих
областях будет и характер распределения смещений по толщине слоя.
49
Основой для анализа уравнения (3.1) является выделение точек плоскости, в
которых одновременно обращается в нуль первое и второе слагаемые. Первое
слагаемое обращается в нуль при выполнении одного из равенств
2|2 = й2, cos - 0, sin = 0, (3.2)
а второе - при
1=0, р=.0, sin-Sp-~0, cos-§^ = 0. (3.3)
Каждое из этих равенств определяет на плоскости (|, ?2) некоторую кривую
или семейство кривых. При этом корнями уравнения (3.1) будут точки
пересечения кривых, определяемых соотношениями (3.2), с кривыми,
определяемыми соотношениями (3.3). Причем мы всегда будем считать число Й
вещественным и положительным.
Рассмотрим первое уравнение в (3.2). С учетом указанного ограничения на
число Й это уравнение определяет прямую 0L Й = К2 g в первом квадранте
(рис. 39). Из первых двух соотношений (3.3) следует, что начало координат
й = 0,1 = 0 является корнем уравнения (3.1).
Уравнение sin = 0 на рассматриваемой плоскости определяет следующую
систему линий: прямую 0D с уравнением й = (см. рис. 39), систему гипербол
-±- Й2-|2 = (2n)2 (n = 1, 2, ...) (3.4)
в первом квадранте и систему эллипсов
-р-й2 + т)2 = (2п)2 (п=1,2, ...) ^ (3.5)
в области мнимых постоянных распространения f = trj (второй
квадрант). Прямая ОL не имеет общих точек с системой кривых,
образованных корнями уравнения sin = 0.

Рассмотрим уравнение cos = 0. В первом квадранте корни этого уравнения
образуют систему гипербол
й2 - |2 = (2/и - I)2 (т=1,2, ...), - (3.6)
а во втором квадранте - систему окружностей
й2 + ^)2 = (2m-I)2 (т=1,2, ...). (3.7)
Пересечение гипербол с прямой ОL определяет некоторую последовательность
корней исходного уравнения (3.1), а именно
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed