Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 59

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 114 >> Следующая

уравнения J1 (б) = 0.
На рис. 53 нормальные вол- | ны, соответствующие различным
действительным, мнимым и комплексным участкам одной и той же ветви,
обозначены числами. Штриховые линии представляют комплексные участки
ветвей. Черта над номером означает, что данной нормальной волне
соответствует отражение показанной ветви относительно плоскости у = 0.
Отмеченные чертой участки на вещественной плоскости у соответствуют
обратным волнам, подробно описанным выше. Как видно из рис. 53, это
явление наблюдается в цилиндре чаще, чем в слое.
Координаты точек пересечения комплексных участков ветвей с плоскостью й =
0 определяются из уравнения
Y2 (ft2 - 1) 111 (Y) ~ /1 (Т)] - ЯЧ* (Y) = 0- (9-18)
Оно хорошо изучено при решении статических задач для кругового цилиндра
[80].
При рассмотрении дисперсионного уравнения неоднократно подчеркивалась
аналогия в поведении волн в цилиндре и слое. Эта аналогия прослеживается
также в асимптотическом поведении фазовых ор и групповых cg скоростей
нормальных мод. Предельное значение ср и cg при низкой частоте первой
нормальной моды с0 = *=* У Е/р. Оно совпадает со скоростью продольных
волн в стержне, определяемой по элементарной теории.
В высокочастотной области групповая и фазовая скорости этой моды
приближаются снизу к скорости рэлеевских волн cr. Все
151
остальные ветви имеют бесконечную фазовую и нулевую групповую скорости на
частотах запирания, а в высокочастотной области эти скорости стремятся
сверху к с2. Поведение величин ср и ^ для промежуточных значении частоты
качественно подобно показанным на рис. 43, а и 44, а. Более полные данные
по этому вопросу можно найти, например, в работах [193, 267].
Анализ поведения групповых скоростей нескольких первых распространяющихся
мод в цилиндре послужил в свое время основанием для того, чтобы говорить
о парадоксе в теории распространения упругих волн [68]. Поскольку ни в
одной из этих мод энергия не могла переносится со скоростью продольных
волн в упругом теле, то был сделан вывод о том, что никакая часть
энергии, подводимой к цилиндру, не может переноситься со скоростью cv
Этот парадокс исчез после анализа величины cg для высших мод. Оказалось,
что все моды с высокими номерами при определенных значениях у имеют
величину cg = cv
Изменение групповой скорости мод с высокими номерами при изменении
частоты для цилиндра подобно показанному на рис. 45 случаю слоя. Значение
максимальной величины cg для различных мод в цилиндре при v = 0,342
рассчитано в работе [193] и представлено на рис. 54.
Выше описан характер движения в каждой моде на частоте запирания.
Определенный интерес представляет изменение характера движения в моде при
изменении частоты. На рис. 55 представлено распределение по радиусу
нормированных перемещений в первой моде на разных частотах, v = 0,3317
[288]. Здесь четко прослеживается трансформация движения от поршневого,
на низких частотах, до движения, характерного для поверхностной волны
Рэлея на высоких частотах.
Поведение смещений в третьей моде при v = 0,3317 с изменением частоты
представлено на рис. 56 [288]. На частоте запирания в ней наблюдаются
только радиальные смещения. Видно, что с увеличением Я увеличивается
число перемен знака в распределении иг. Тенденция к увеличению осцилляций
с ростом частоты в других модах также сохраняется, однако это не всегда
связано с увеличением числа перемен знака. Из общих выражений для
смещений (9.7) можно, например, установить характер их поведения для
больших Я вблизи областей, где ср зё сг. При этом а близко к нулю, а Р
остается достаточно большим. Тогда каждая компонента смещений
представляет собой суперпозицию двух функций Бесселя с большим и мальий
аргументами. Например, для v = У3 осевое смещение может иметь
Q-2.S Q-W
Q-m
g=/$a
T
Рис. 55.
L
a-ifi
Рис. 56.
вид
а=зд
а=б,о
1- J ' г , [' ' { Г- *-< "-1
\ , ь-1
иг = В [J0 (216r) - 3J0 (2,4r)], Q = 283,3, иг -В [ Ja (217,5г) - 0,05Уо
(6,5r)], Q = 285,4.
(9.19)
Первое из этих выражений относится к 68-й ветви, а второе - к 70-й. В
первом выражении для иг отсутствуют перемены знака, а во втором таких
перемен очень много - порядка 70. Отметим, что сильная зависимость
функций, описывающих волновое поле в упругом волноводе, от частоты
является его специфической особенностью по сравнению с волноводами для
акустических и электромагнитных волн.
§ 10. НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРЕ
Для случая п > 1 выражения (8.7) с верхними значениями тригонометрических
множителей представляют компоненты вектора смещений в неосесимметричных
модах. Дисперсионные свойства каждого семейства мод (п фиксировано)
определяются уравнением (8.8). Это уравнение при п > 1 гораздо сложнее
уравнений -(9.3) и (9.4) для осесимметричного случая. Эта сложность
связана как с действительным качественным усложнением волновой картины,
153
так и с чисто количественными факторами, не отражающимися существенно на
поведении нормальных мод.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed