Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если в дисперсионном уравнении (8.8) перейти к пределу при у -> 0, то
приходим к следующим двум независимым уравнениям: Q/"_i (Q) - nJn (Q) =
0, (10.1)
{2 (n2 - 1) [Q/"_i (Q) - nJn (Q)J - QV" (О)} x
X [(2n2 + 2n - Q2) Jn (Q) - 2QJn-i (Q)] = 0. (10.2)
Для каждого данного n эти уравнения определяют два независимых семейства
частот запирания. Частоты запирания, определяемые уравнением (10.1), не
зависят от v. Характер движения на этих частотах аналогичен тому, который
определен как продольносдвиговой в осесимметричном случае.
Значения частот запирания, определяемые из уравнения (10.2), зависят от
величины v, а соответствующие движения характеризуются отсутствием
продольных смещений. Обширные числовые данные по решению уравнений (10.1)
и (10.2) содержатся в работе [288].
Наинизшие неосесимметричные моды (п = 1) иногда называют изгибными. Этим
названием подчеркивается их аналогия с анти-
154
симметричными волнами в слое. Тем не Менее сколько-нибудь полную аналогию
здесь можно провести лишь для низших ветвей дисперсионного спектра.
Кинематические характеристики движения в высших модах для цилиндра при п
= 1 существенно отличаются от характеристик высших антисимметричных мод в
слое.
Сложные дисперсионные соотношения для п = 1 исследованы в работах [247,
249] с помощью техники нанесения на плоскость (у, ?2) ограничительной
сетки. Практическая реализация такого подхода довольно сложна, и, хотя, в
принципе, его использование возможно и при п > 1, имеющиеся данные о
спектре в этих случаях базируются на прямом счете [288].
На рис. 57 воспроизведены вещественные и мнимые участки дисперсионных
ветвей, вычисленные [288] для случая п = 1 и v = = 0,3317. В процессе
сравнения этих данных с соответствующими данными об изгибных волнах в
слое (см. рис. 42) обнаруживаются как общие, так и существенно различные
черты в поведении мод.
Одно из интересных различий между слоем и цилиндром состоит в том, что
для цилиндра некоторые из ветвей в мнимой плоскости идут к нулевому
значению частоты. Интересно также, что в рассмотренном диапазоне Q для
цилиндра не наблюдается "обратной" волны, связанной с неосесимметричным
деформированием, описываемым в окружном направлении функциями cos 0 и sin
0.
Низшая ветвь на рис. 57, проходящая через начало координат, как и в
случае слоя, имеет ср (0) = cg (0) = 0. Аналогия со слоем сохраняется
также в поведении величин ср и cg всех ветвей в высокочастотном пределе.
Для низшей ветви эти скорости стремятся к скорости рэлеевских волн cr, в
то время как для всех остальных ветвей общее предельное значение
скоростей равно с2.
Для номеров /1>2в поведении дисперсионных ветвей обнаруживается
достаточно большая степень сходства. Большой объем вычислений по
построению полного спектра (вещественных, мнимых и комплексных участков
ветвей) для п = 2, 3, 4 проведен в работе [288]. На рис. 58 и 59
изображены мнимые и вещественные корни дисперсионных ветвей для случаев п
= 2 и п = 3 соответственно. Наиболее характерной чертой в представленных
спектрах является ненулевая частота запирания низшей ветви, а также
наличге на ней частотного минимума, связанного с явлением "обратной"
волны. В высокочастотной области групповая и фазовая скорости низшей
ветви стремятся к cr, а всех остальных ветвей - к с2. Данные о кинематике
волновых движений при п >> 1 можно найти в обзоре [277] и указанной там
литературе.
ГЛАВА 5
УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕЛ
В предыдущих главах рассматривались волновые процессы в бесконечных
упругих телах, причем основное внимание уделялось особенностям
распространения волн. При этом были изучены характерные резонансные
явления, связанные с наличием границ. К ним относится распространение
поверхностных волн Рэлея и Стоунли и нормальных мод в слое и цилиндре.
Для всех рассмотренных ситуаций характерно то, что для них граница играет
направляющую для потока энергии роль. При этом, конечно, происходят
элементарные процессы отражения от границы, но они не связаны с
изменением направления общего потока энергии.
Структура волнового поля существенно усложняется, если происходит такое
отражение, при котором изменяется направление общего потока энергии. С
такими явлениями мы сталкиваемся при рассмотрении волновых процессов в
ограниченных упругих телах, граничную поверхность которых даже в
простейших случаях уже нельзя отождествить с координатной поверхностью
какого-либо одного семейства. Простейшим примером такого вида областей
является прямоугольная призма 1^1 ^ а, | г/J < оо, | гх| ^ h.
В акустике и электродинамике переход от задач распространения волн к
задачам об установившихся колебаниях, как правило, не составляет труда,
если известен полный набор нормальных мод для соответствующей бесконечной
области. Знание таких мод позволяет просто построить полный набор
нормальных колебаний конечного тела, т. е. найти его собственные частоты
и формы. Физической основой относительной простоты возникающих здесь
