Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
изменения формы записи:
Для упрощения системы функциональных уравнений, образованных первым и
третьим уравнениями в (2.5), используем ряд Фурье
А0 sin QtL =¦ /о, Ат sh pxL + Вт sh p2L = fm. (2.7)
(2+1) я 2 a
2 I 2 y2 | 2
D + Pi sh p2L p p fera "г ?2 sh q2
m 2t4 sh PlL ' n 2^ sh?i '
In У
(2.9)
"б?
и получающийся из него заменой г на ir ряд для cos гу. С учетом (2.8) из
системы функциональных уравнений получаем следующую бесконечную систему
линейных алгебраических уравнений:
1 - V г . v sin й,
1 - 2v C0S 1 + го 1 _ 2v Q,
vQ?Q2
2(1
VI *n
-2v)2j tlo\
rj=l
v sin QtL
1 - 2v
1 -v zo [ _ 2v C0S i'
____________________________________________ zm
'2(1"2v)i, №
§0'
vQ2Q2
I о"
2"A" 0>) + ?
xn
- Zr
?-2 i 2
.= ^ + Pi 2vQt/. sin Qj P?(I - 2v)
? + p2 = /*.
2S"
(2.Ю)
2vQi sin QjL ° <?? (1 - 2v)
Неизвестные xn и zm в этой системе связаны о коэффициентами рядов в
(2.2), (2.3) соотношениями
х0 = ЛА, х" = (- l)"D"sh qt,
г0 - CoQi, zm - ( 1) В"
sh p2L
(2.11)
Кроме того, в (2.10) приняты следующие сокращения:
K(Q) = q2cthq2-
Ьт(Р)
Рг cth p2L ¦
(Уп ~t~ q?)2
(r\m + P2)2
WmPl
cth qv cth ptL
(2.12)
Можно показать, что равенство нулю выражений А" (q) и Дт (р) приводит к
уравнениям Рэлея - Лэмба (2 13) главы 4 для бесконечного слоя толщиной 2
и 2L соответственно.
После определения неизвестных хп и zm в системе (2.10) все характеристики
напряженно-деформированного состояния вычисляются по формулам
хо oinOvi.г V1 i i\m -
sh р2х
4m + Pi sh ptx
oo /2 j_ 2
Za . tr / 1 l ch Plx
Ui = _jLsm?V + Z.?(-l)
m=1
"2 ch p2x \ rjrn sh p%L 1
X
Xsin^+f (- 1)"J*?
0=1 \
^Q-ox = x0 / cos+ z0 ,^2v COSQtz +
sh(/2z + 4 shqiz I r
2g sh9l |C0S^'
+ L ? (- l)m 2,
mss)
ch p2x (^m 4* P2)2 ch pjX
+ S (- 1)" xn
0=1
sh p2L ^imPl
<Й + я1) (ll + -fzrkr)
cos T)mz +
2&i
ch f/tz ch iy3z
sh ?! sh </2
1 -v
COS inX,
20
02 = Xg-y^rcosfi^ + 20 1_i^> cosQ^ +
+ L 2 (- l)mz"
X COS TfoZ + (- 1)" *"
(4"+P3)(Tim+-1"zrs7
vQf
ch PiX
2T1mPi
sh p±L
Ch PgJC sh p2L
X
n=1
<7*
ch </аг (Sn + ?г)8 ch qtz
sh </a 4&/J sh q1
cosl^c, (2.13)
_t j,- irz"4±i(-|^_^)si"v+
01=1
+ ?<-
" + ?2 / sh <7,2 sh q2z \ .
sh q 1
sh(/a
j sin ?"*.
Аналогичные решения можно построить и для других типов симметрии
относительно координатных плоскостей. Кроме рассмотренного еще можно
выделить три типа симметрии. Из них мы оста новимся несколько подробнее
на случае изгибного деформирования прямоугольника, т. е. на случае, в
котором картина деформирова* ния симметрична относительно плоскости х = 0
и антисимметрична относительно плоскости г = 0.
Конкретно рассматривается следующая граничная задача:
2Q °х - /о2^ 9/j ^хг - О, X - zt L,
2G
(2.14)
169
Процесс построения общего решения этой задачи аналогичен описанному выше.
Так же как и в симметричном случае, удовлетворение граничных условий
приводит к бесконечным системам линейных уравнений независимо от выбора
значений ?" и ч\т. С точки зрения построения эффективного алгоритма
решения бесконечной системы в данном случае необходимо положить
"L, (2Л5>
При переходе от функциональных уравнений к алгебраическим используются
следующие ряды Фурье:
(- l)m~1
z= 2 V -s-\--------------sinrj^z,
т=1 Лт
/ 1 ч/Цмв)
sin аг = 2а cos а Y ¦ sin п"л,
(2.16)
Чт-а*
m=1 т
°° , j \m-
•sh az = 2а ch а V -- sin r\mz.
m=l + a
леченные преобразования, пол систему линейных алгебраических уравнений
!_ = О
"2
(2.17)
т=*1
(~i)w~
"=1 т)"1'
Выполняя намеченные преобразования, получаем бесконечную
уравне
vQ2q| °°
D0( 1 - vjQ^inQ, ч г-
Лт + I + 4
rt Zm Zj 2 2 ¦ = 0,
=1 ЛтР|
vQ* \
e 0 II
Л rn J
2ЛI vQ| >
- А /-" , Q1 ^ *1. / 2тй vQ| \ ,
А(р)+ 2 ( g+p§ й ]+
2vQ,
+ D0 ---^-5 cos Qj =-----, m = 1, 2,
1 ^ 2/0
-5 cos Q, =-----------
<1 - V) pf 1,2
относительно неизвестных xn и zm. Здесь использованы обозначения
А / \ (?п + ^)2 ..
Д" (<?) = <7, th q%-----3-- th ?lf
?" " (2.18) А. (Й = i [л cth fti - ^ cth fttl.
Через неизвестные коэффициенты xn и zm смещения в прямоугольнике
выражаются соотношениями
°° т ( Лт "Ь Pi sh ptX sh p2X \ .
(2.19)
Таким образом, в обеих рассматриваемых задачах при получении
количественных оценок для характеристик напряженно-деформированного
состояния главным является вопрос об эффективном решении бесконечных
систем. Анализ свойств неизвестных в этих системах позволяет построить
такие алгоритмы.
возникающих при рассмотрении граничных задач методом суперпозиции,
состоит в исследовании их регулярности [64]. При этом устанавливается,
что решение в принятой форме существует и задается алгоритм отыскания
нескольких первых неизвестных. Исследование бесконечной системы (2.10) в
таком плане содержится в книге [38]. Однако в связи с тем, что
неизвестные в (2.10) являются, по существу, коэффициентами рядов Фурье
искомых величин смещений, с точки зрения практических вычислений
одинаково важно как знание конечного числа первых коэффициентов, так и
характер их поведения с ростом номера. Анализ асимптотических свойств
