Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее естественным представляется такой выбор ?" и 6т, который
обеспечивает наибольшую простоту удовлетворения граничных условий. Вопрос
о выборе формы общего решения в рамках излагаемого подхода для задач
статики обсуждался в книге [38]. Полученные там выводы справедливы и для
динамических задач.
В случае симметричного относительно обеих осей напряженного состояния
прямоугольника общее решение для компонентов смещений целесообразно
принять в виде, соответствующем и 6" = 2т. Кроме того, в дальнейшем
изложении удобно ввести безразмерные координаты х = г = безразмерные
(отнесенные к ft) смещения, а также принять следующие обозначения:
:Пт = -^ = тот, Б" = ?"А = -^, L = -j-> т,п = 0,1,2,...
= / = 1,2, (2.1)
л Pi d " Цт Qi г> " ?п
- фm~jp~ t Dm - ат W- Фп Д2 > ип - ап Д2 •
164
С их использованием выражения для компонентов смещений приобретают вид
оо
их = А0 sin Qxx + 2 (Ат sh ргх + Вт sh р2х) cos т\mz -
т=\
~ X {Спch 4iZ+Dnirch q*z)sin
1 (2.2)
oo '
Щ ~ C0sin QjZ- 2 [Am ch pxx + Bm^-ch p2x) sin r^z +
m=l ' '
oo
+ 2 (C" sh ?x2 + Dn sh q2z) cos ?"x.
n- I
Соответствующие этим смещениям компоненты тензора напряжений можно
записать в виде
1 . 1 - V
2G а*~Ао I - 2v ""1 -""1- * -о ( _2v
,.2 . 2
-2с°* = Л" ¦) -2v ' Qi C0S QiX + °o A-2v Ql C0S Q"Z +
oo / "2 , 2 \
+ X \m ~2pi ~ ch + ^2 ch p2xj COS T|m2 -
m=l
,2 . VQ1
" | "h i _ 2v
- XI c" я ch ^iz+ch /cos ?"*>
! n==I v 1 1-v (2-3)
~2Q-Ог = A@ j _2y cosPl* + C0 j 2v ^Cos^i2 -
2 . VQT
п I ' J _- 2v I
- X \ ch pLx + Bmp2 ch p2X I COS r\mZ +
? + 4
+ 2 lC" • n2qi ch 9iz + ДА ch q2z J cos lnx,
n=l
1 \ •
~2(f Xxz = - 2j^ IAmf\m sh Pi* + Bm sh p2XJ Sin T|mZ -
00 / ?2 -4- O2 \
~ 2! (C"?" sh qrz + Dn -n2?-- sh ?2zj sin
Как отмечалось, выражения (2.2) и (2.3) позволяют выполнить
любые граничные условия вида (1.1), (1.2) или (1.3). С целью некоторого
уменьшения громоздкости выкладок проведем их в предположении, что в
задаче (1.1) отличными от нуля являются лишь
165
нормальные напряжения. Тогда получим 1
2 в
1 СО |
ох= 2 (- cos Т)">2> -20'1С" = x = ±L,
m=° (2.4)
| СО |
~2ваг= j 1)"^cos Ь* ~2G'T" = °* * - ± *•
л=о
Если в граничные условия (2.4) подставить выражения для напряжений, то
получим следующую систему функциональных уравнений:
Ао т?г^г Й1cos SiL + со " Г- 2v ~Ql cos Й12 +
+ X (Лт ch + S^2 ch paL) cos t^z -
m=1
vQ^
rc=l
I tn + 1 _ 2v I
2j\C"--------? ch^z + D^ch^zjt-1)
CO
= 2 (- l)m/mCOS T)mZ,
2 2 (2-5)
АтПrnshPiL -f shp2L = 0,
Ao j _2v cos i____2v ^ cos -
2 , VQ1 П '
Bl*si
vi I • 1 - 2v I m
- 2.И" ft-----------ch pxx + Bmp2 ch p2x j (- 1) +
90 t T* JL.*f \
+ X (cn~Tgl 2~ch7i + °пЯгchft)cosCb* = S (- Dn^cosC"x,
Яяег! V / /1=0
C.&.shfc + A.-^^-sh q2 = 0.
Из ее структуры следует, что значения всех произвольных постоянных
связаны между собой.
Из второго и четвертого уравнений этой системы видно, что отсутствие
касательных нагрузок в граничных условиях упрощает связь между искомыми
величинами. Вместе с тем это не вносит принципиальных ограничений в
излагаемый метод.
Если в рассматриваемой задаче вместо условий для ах на сторонах х = ± L
считать заданным нормальное к поверхности
166
смещение
Ux = J] (- 1 )mfm COS T]m2, x = ± L,
(2.6)
то вместо первого функционального уравнения в (2.5) получаем
В таком случае из (2.7) и второго уравнения в (2.5) постоянные Ат и Вт
определяются независимо от значений Сп и Dn. После определения величин Ат
и Вт коэффициенты Сп и Dn находятся из двух последних уравнений (2.5)
довольно просто. К так же просто разрешимой задаче мы приходим и при
задании на сторонах х - ± L нормальных напряжений ах и касательных
смещений иг. Однако при этом необходимо исходить из решений (1.15),
принимая =
Математическая простота двух указанных граничных задач с перекрестными
(ох, иг или ххг, их) условиями на однотипных сторонах является следствием
простоты процесса отражения нормальных волн в слое от такой границы. При
этих условиях в процессе отражения любой распространяющейся моды от торца
ни других распространяющихся, ни неоднородных волн не возникает.
В случае первой граничной задачи (2 4) произвольные постоянные необходимо
определять из системы (2.5). Условия для касательных напряжений позволяют
исключить две последовательности произвольных коэффициентов. Можно,
например, выразить Ат и Сп через Вт и Dn. Однако для тех значений
частоты, при которых sh p\L = 0 или sh <7Х = О, это сделать нельзя При
этом, как легко заключить из (2.5), коэффициент Вт или Dn равен нулю, а
коэффициент Ат или Сп остается произвольным Таким образом, после
удовлетворения граничных условий по касательным напряжениям всегда имеем
две последовательности произвольных коэффициентов, необходимых для
выполнения остальных граничных условий. Данный вывод остается в силе и
при sh р2Ь = 0 или sh р2 = 0.
В общем случае выразим Ат и Сп через Вт и Dn, исключая указанные выше
значения частоты, которые не связаны с какими-либо физическими
особенностями в поведении упругого тела, а требуют лишь некоторого
