Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
неизвестных в системе (2.10) также выполнен в работе [38]. Не
останавливаясь на деталях, приведем самый важный результат такого
анализа. Он заключается в том, что на частоте, не совпадающей с
собственной, ограниченное решение системы (2.10) существует и его
асимптотические свойства определяются равенствами
Здесь Oq - некоторая постоянная, зависящая от частоты и вида внешней
нагрузки.
При выводе соотношения (3.1) предполагалось, что для коэффициентов
разложения в ряды Фурье граничных функций (2.4) для
С одной стороны, это несколько ограничивает вид внешней нагрузки,
исключая из рассмотрении действия локальных сил, а с другой - дает
определенные общие указания на способ выбора полных систем функций в
представлении общего решения (2.2). Указанные системы
§ 3. АЛГОРИТМ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОБРАБОТКИ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
Традиционный подход к решению бесконечных систем,
lim х" = - lim zm = а0.
(3.1)
больших номеров справедливы оценки
171
необходимо выбирать так, чтобы при асимптотическом анализе бесконечной
системы коэффициентами в рядах Фурье гладких функций (2.4) можно было бы
пренебречь. Такое требование не позволяет заранее угадать способ выбора
полных систем, однако правильный их выбор во всех рассмотренных здесь и
ниже задачах даст возможность установить закон типа (3.1) и до конца
провести подробный анализ динамической напряженности в телах конечных
размеров.
Значение соотношения (3.1) с точки зрения оценки скорости сходимости
рядов для напряжений и повышения эффективности их вычислений на основе
метода Крылова [72] очевидно. Однако при использовании этих возможностей
предполагается знание величины а0. В связи со сказанным становится важным
указание конкретных способов ее определения.
Один из способов приближенного нахождения значения а0 заключается в
следующем. Основываясь на соотношении (3.1), при переходе от бесконечной
системы (2.10) к конечной, содержащей N неизвестных хп и М неизвестных
гт, можно полагать
xn = xN {п> N), гт= гм (т>М). (3.2)
При этом получаем конечную систему линейных уравнений с iV + -Ь М + 2
неизвестными. Она отличается от системы, основанной на использовании
способа простой редукции, лишь коэффициентами при последних
использованных в рассмотрении неизвестных. Такое незначительное
количественное различие, однако, связано с принципиальным качественным
различием этих подходов. Решение конечной системы с использованием (3.2)
доставляет данные о поведении всех неизвестных в исходной системе (2.10).
Кроме того, определитель такой конечной системы является более точным
частотным определителем, чем получаемый при простой редукции бесконечной
системы.
После решения таким образом сформированной конечной системы величину д0
можно определять как среднее значение величин xn и zM, т. е.
При этом степень близости величин хц и zm служит определенным критерием
точности нахождения значения а0. Естественно, что при недостаточной
близости значений и zM число вовлекаемых в конечную систему неизвестных
необходимо увеличить.
Еще один способ определения постоянной а" базируется на двух основных
моментах. Прежде всего следует учитывать, что при решении бесконечных
систем путем замены их конечными первые неизвестные определяются с
большей точностью, чем последние. Это обстоятельство сохраняется и при
использовании соотношения (3.2). В связи со сказанным целесообразно
построить алгоритм определения а0 по значениям первых неизвестных в
отличие от правила (3.3).
172
На необходимость поиска такого способа указано в работе Кояло-вича [70]
при решении статических задач. Анализ выражений для напряжений на
граничных поверхностях показывает, что такой алгоритм действительно можно
построить.
Рассмотрим, например, выражение для ох на границе х = L:
Исследуем каждый из входящих в (3.4) бесконечных рядов. Первый ряд
представляет собой обычный ряд Фурье. Исходя ив соотношения
(3.1), можно установить, что асимптотическое поведение его коэффициентов
с ростом т задается формулой
Это указывает на медленную сходимость ряда (3.5) и, более того, на то,
что при г = 1 данный ряд вообще расходится. Известный метод Крылова [72]
улучшения сходимости тригонометрического ряда дает следующее соотношение:
Теперь бесконечный ряд в (3.7) сходится. Расходимость же ряда
(3.5) при z - 1, очевидно, связана с тем, что он представляет функцию с
логарифмической особенностью в конце интервала.
Второй ряд в (3.4) также расходится при 2=1. Для выделения особенности
представляемой им функции можно использовать
+ f (- l)mZmAm (Р) COS T]m2 +
С
(3.5)
(3.6)
Si(z)= V (-1)4zmAm (p) + aaL 1 cos 4mz +
m=1
(3.7)
Здесь использована известная сумма [33]
(3.8)
173
подход, аналогичный приведенному выше. Для достаточно больших п и гФО
ch qtz sh
+ + ^L+...],
(3.9)
~ е-",(1-г) ~ е-Еп()-г) Г i + -^(1~z) + -1(1~г)* + ...
sh q2
2In
]
Тогда поведение общего члена второго ряда в (3.4) для больших п и z Ф 0
описывается выражением
vQr
2*i *h*>
