Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Данное обстоятельство особенно наглядно проявляется, если обратиться к
рис. 46. При Q < Q* решение (1.10) для г - 1 соответствует корням Si = -
*= ± -+- пи, принадлежащим ветвям L2 и L3 соответ-
ственно.
Для фактического определения произвольных постоянных в (1.12)
используются различные подходы. В ряде работ [203, 234, 2881 применяется
способ коллокации при выполнении граничных условий. В работах [244, 281,
282J применяется вариационный подход или способ разложения однородных
решений в ряды по полным ортогональным системам [3, 91]. Во всех подходах
получающиеся системы алгебраических уравнений требуют довольно громоздких
вычислений их коэффициентов. Исключением при этом является краевая задача
(1.3). При ее решении произвольные постоянные в (1.12) определяются явно
с помощью соотношений обобщенной ортогональности [56, 140].
Второй аналитический подход к построению точных решений граничных задач
(1.1) - (1.3), называемый далее методом суперпозиции, основывается на
несколько ином способе использования частотных решений уравнений
движения. Идейную основу метода можно найти в работе Ламе [209]. Первое
применение такого подхода в задачах об установившихся колебаниях
прямоугольных пластин описано в работе [184]. В последующем метод
суперпозиции использовался в работах [22, 31, 1981. Возможности метода
значительно расширились в связи с исследованием свойств бесконечных
систем, возникающих при его применении [38, 48].
Подход к построению общего решения краевых задач в рамках этого метода
изложим на примере симметричной относительно плоскостей хг = 0 и гх = 0
задачи для прямоугольника. В этом случае для потенциалов (2.2) и (2.4)
главы 4 следует, что частными решениями уравнений движения являются
следующие выражения
162
для смещений:
и? = - Ф? cos -?gL s in Ext. н'1' - - ф -S- sin^i- cos &clt
(1.13)
н*1 = - Л cos sin Dq, i42) = sin cos |xx.
Выражения (1.13), содержащие произвольные постоянные Ф и А, порознь
удовлетворяют уравнениям движения при любом ?. Идея метода однородных
решений состояла в отыскании при данной частоте таких значений ?, при
которых удовлетворялись бы однородные граничные условия на сторонах гх
=±/г. Произвольные постоянные Ф и А затем определялись из условий на
сторонах хг = = ± о.
В методе суперпозиции произвол в решении (1.13) используется иначе. Здесь
решение формируется так, чтобы "ответственными" за удовлетворение любых
граничных условий на сторонах г = ± h были постоянные Фи А. При этом в
качестве I целесообразно выбрать такую последовательность чисел с", чтобы
системы функций sin^Xx и cos^Xx были полными и ортогональными на отрезке
| XjI ^ ^ а. Из этого требования в качестве возможных следуют значения
5п = -тг. 6п = -(2п+2с!)Л , п = 0,1,2,... (1.14)
Возможны и иные способы определения величины ?, однако они не дают каких-
либо преимуществ при удовлетворении граничных условий [381.
Таким образом, указанный выбор величины | доставляет следующую
бесконечную совокупность частных решений уравнений движения:
и*'* = - 2 ((P^cos 2/f1 + ап -^r cos ""af") sin ^i*
(1.15)
"*I> = X (- "Ж" Sin + a^n sin JIWL') costnXv
n-0 '
Эта совокупность позволяет удовлетворить произвольным условиям в
смещениях или напряжениях на сторонах zx = ± h прямоугольника путем
выбора постоянных и ап. Однако после этого уже теряется произвол для
удовлетворения граничным условиям на сторонах хх = ± а. Поэтому решение
(1.15) необходимо дополнить решением, доставляющим нужный функциональный
произвол для выполнения этих условий.
Обладающий требуемыми свойствами набор решений получается из (1.13) на
основании следующих соображений. Поскольку необходимо удовлетворить
граничные условия на сторонах xt = ± а, то искомое решение должно
содержать полные и ортогональные системы функций на отрезке | zt | ^ h
Для этого в первой группе частных решений (1.13) выберем такую
последовательность значений
1Г
163
|m, чтобы выполнялось равенство
am = 8m, 8m = 2т или fim = 2т + 1, m = 0,1,2,... (1.16) Во второй группе
частных решений (1.13) набор значений ?т должен быть иным. При этом
должно выполняться соотношение
Pm = Sm. (1.17)
Тогда совокупность частных решений
(1.18)'
..(2) Vi ( _ я$т "и Pixi I " Рг "и Ргх1 \ я^тг1
Чг - 2j (" ~Г" + a"-rch-T^)sin-W-'
пи-0 ' '
где
J2 ^2. _2 П*$т 02. 0 ЯЙ . 0 ЯЙ ,, , Пч
Pi - ^ ="1" Рг - ^ (r)"2> - 2k " ' 2 - 2 * (
)
позволяет удовлетворить произвольные граничные условия на сторонах *! =
±аза счет выбора значений фт и ат. В сумме решения
(1.15) и (1.18) представляют общее решение граничных задач (1.1),
(1.2) и (1.3). На их использовании и построено дальнейшее изложение.
§ 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ
Построенные выше выражения (1.15) и (1.18) удовлетворяют требованию
полноты на сторонах прямоугольника. Однако это требование не определяет
однозначно структуру выражений для смещений. Для дальнейшей конкретизации
решения необходимо принять во внимание иные обстоятельства.
