Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
не решен вопрос об оценке поведения коэффициентов разложения в
зависимости от дифференциальных свойств разлагаемых функций.
Несмотря на определенную математическую незавершенность метода однородных
решений, с его помощью получено решение ряда интересных динамических
задач для полубесконечных областей
Рио. 60.
159
[219, 234, 281, 287, 288]. Более громоздкие задачи для конечных областей
рассматривались в работах [3, 83, 91, 203, 244]. В ряде работ Миндлина и
его сотрудников, относящихся к круглому цилиндру [179, 225, 237] и
прямоугольной пластине [227, 238], для решения конкретных задач развита и
использована приближенная теория. По своему существу она является
некоторой модификацией метода однородных решений для учета трех первых
ветвей дисперсионного уравнения (см. далее рис. 61 и 62).
Вид общего решения задачи в рамках метода однородных решений легко
получить, используя выражения для смещений (2.17) и (2.18) главы 4.
Далее, ограничиваясь случаем продольных (симметричных) движений, для
сокращения записи введем обозначения
удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях ?. Для того
чтобы соответствующие (1.5) выражения для напряжений удовлетворяли
граничным условиям на поверхностях - ± h, величина ? для каждого данного
значения частоты должна определяться из дисперсионного уравнения (2.16)
главы 4. Как установлено в главе 4, это уравнение имеет конечное число
вещественных корней zfcli, ±?2, •••> конечное число чисто мнимых
корней
± i%, ± Й12, •••, ± ir\M и бесконечное число комплексных корней ±?х ±
±|2 ± й|2,... Общее решение уравнений движения со-
ставляется путем суммирования частных решений (1.5), умноженных на
произвольную комплексную постоянную, по всему указанному бесконечному
набору корней.
Для п-й пары вещественных корней ± вводя соответственно произвольные
постоянные А+ и Л_, получаем выражения для смещений:
= L /(L zx) [iA+ exp (Щ^) - i'Л_ exp (- tl^)], {
"г = Ф (L Zj) [A+ exp (t?n*i) + Л_ exp (- ilnxx)].
Здесь учтена четность функций / и ф по |. Чтобы эти выражения были
вещественными, постоянные Л+ и Л_ связываются соотношениями А- = Л+.
Следовательно, имеем следующее решение:
Тогда выражения для смещений
их = ilf (!, г,) exp (icx-A, "г = Ф (!. zx) exp (icxA (1.5)
и*4 = 2 IJ (!", Zj) Re [iA+ exp (i?^,)], "Г = 2ф (I", zt) Re [Л+ exp
(t?nxx)].
(1.7)
"60
Эти выражения представляют собой стоячую по х1 волну и содержат две
вещественные произвольные постоянные (Л+ = ап -f ibn).
Аналогично для т-й пары чисто мнимых корней ± ir\m получаем следующие
выражения для смещений:
= 'йт/ ("Пт. Zi) {flm ехр [- х\т (а - хх)] - bm ехр [- цт (а + хх)]},
(1.8)
и{т) = ф (irjm, zx) [ат ехр [- т\т (а - хх)] + Ьт ехр [-х\т (а + хх)]}.
Здесь также имеем две вещественные произвольные постоянные ат и Ьт. Уже
сама форма решения указывает на то, какая из них является определяющей
при удовлетворении граничных условий соответственно на сторонах хх = ± а.
Комплексные корни входят в решение четверками. Одна пара корней из r-го
набора (Er -f ir\n - + t'nr) доставляет решение,
убывающее в положительном направлении оси хх. Решения, соответствующие
второй паре, убывают в отрицательном направлении данной оси. Именно это
свойство дает основание для такого группирования корней. Учитывая общее
свойство пар ?, = - рассмотрим смещения, соответствующие первой паре:
их = Ш (In zx) Ar ехр (ilfxx) - tfrf (- Xr, zj X
X Br exp (- i?;rxx)} exp [- r\r (xx + a)], ^ 0
= [Ф (t, zO A, exp (ilrXj + ip (- I*, zx) Bt exp (- i|,xx)] X X exp[-
rir(xx + a)].
Из соотношений (1.4) легко найти
f (-?. Zx) = r (Cr. Zi), Ф (- &, ZX) = ф* (I, zx).
Тогда из требования вещественности выражений (1.9) получаем, что S, = А*
и, следовательно,
и**1' = 2 Re [*'?/ (С, гх) ЛГ ехр (/Ь*х)1 ехр [- т]Г (хх + a)], f { ш
и{/Л) = 2 Re [ф (?Г, гх) Л, ехр (й,*х)] ехр [- цг (хх + а)].
Эти выражения представляют собой убывающую по амплитуде стоячую волну,
что соответствует общим требованиям для комплексных корней (глава 4, §
4).
Аналогично для второй пары корней
и(''2) = 2 Re [it/й,, zx)Crexp(t%.xx)]exp[- iv(a - хх)], ^ ^ ир2) = 2 Re
[чр (Cr, гх) С, ехр (г|гхх)] ехр [- х\г (а - хх)].
Каждое из выражений (1.10) и (1.11) содержит по две вещественные
произвольные постоянные (Ас - аг -(- ibr, С, = с, -f- idr).
tl 1841 161
Общее представление вектора смещений в рамках метода однородных решений
имеет вид
п~] /л=1 Г-\
ДГ м со
и, = 2 uin) + ? иГ> + 5]
п=1 т=1 г=1
Элементарные составляющие в этих формулах задаются соотношениями (1.7),
(18), (1.10) и (1.11).
Слагаемые и<л) и u<m) для удовлетворения двух граничных условий в
смещениях или напряжениях на стороне, например, дсх = = а имеют одну
произвольную постоянную. Слагаемые же и<^ содержат две произвольные
постоянные. Эту "неравноправность" различных слагаемых легко понять, если
учесть, что каждое решение вида (1.10) или (1.11), в отличие от решений
(1.7) и (1.8), соответствует двум разным ветвям дисперсионного спектра.
