Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
картины в рамках модели упругого тела, так и с точки зрения возможности
практического использования результатов является введение в рассмотрение
волновых ситуаций, связанных с наличием границ.
Вопрос о введении границы 5 упругого тела В и постановка условий на ней
является, по существу, вопросом о схематизации процессов взаимодействия
упругих тел между собой. В ряде случаев существенные различия в физико-
механических свойствах взаимодействующих тел позволяют говорить о
свободной или защем-
24
ленной границе. Подчеркнем, что выбор правильной модели для описания
процесса динамического взаимодействия представляет собой очень сложную
задачу. В связи с этим важным является понимание свойств границы как
составного элемента модели идеального упругого тела.
К вопросу о свойствах границы, соответствующих этой модели, можно подойти
формально. При этом на границе могут быть заданы смещения
u|s = ll, (2.2)
напряжения
2G(fzr^n + п • gradu + "§¦ n х rotu] s=*4 (2.3)
или смешанные условия
2G (п=П^ n + n ' 8radu + ~Гn х rot u)
= q, (2.4)
. s, u Is. = i).
где S = Sj (J S2; n - внешняя нормаль к
Кроме этих, так называемых основных, граничных задач существуют и другие,
связанные с одновременным заданием нормального (касательного) компонента
вектора смещений и касательной (нормальной) составляющей вектора усилий.
Решение граничных задач с такими "перекрестными" условиями, как правило,
оказывается значительно проще, чем решение основных.
Типы допустимых граничных условий также тесно связаны с доказательствами
теорем существования и единственности решения [74, 200]. При
доказательстве этих теорем обычно формулируется ряд предположений о
свойствах гладкости границы (кусочно-гладкая поверхность). При этом четко
отмечается, что граничная поверхность упругого тела есть нечто отличное
от самой среды. Последнее обстоятельство, конечно, не является
специфическим, относящимся только к упругости, а должно подчеркиваться во
всех случаях, когда речь идет о математической формулировке
соответствующей физической задачи.
Сама граница упругого тела рассматривается как поверхность в чисто
геометрическом смысле. На такой поверхности считается возможным задавать
самые различные условия для "выходящих" на нее компонентов тензора
напряжений, вектора смещений или их комбинации При этом здесь сразу могут
проявляться противоречия между столь общими свойствами границы и
свойствами ограниченного ею идеально упругого тела при условии малости
деформаций. В частности, можно указать на постановку смешанных граничных
задач (2.4) с резко выраженной линией раздела между областями и S2. При
этом, как правило, в решении задачи возникают особенности, т. е.
наблюдается неограниченный рост некоторых
физических характеристик поля при подходе к точкам смены типа граничных
условий, что является характерным примером указанного выше противоречия.
Еще одним важным следствием принимаемого определения границы упругого
тела является возможность существования угловых точек (линий), т. е.
пересечения гладких частей границы. Наличие таких углов также может
приводить к появлению особенностей в каргине напряженно-деформированного
состояния, что гоже отражает противоречивость в свойствах границы и
упругого тела. Роль указанных противоречий при постановке и решении
конкретных задач рассматривается в § 4 данной главы.
§ 3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
В БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ
В различных областях физики широко используется спектральный метод
исследования волновых процессов. При таком подходе существует
принципиальная возможность свести анализ поведения волн в общем случае к
анализу простейших гармонических волн. Переход от характеристик
гармонического процесса к оценкам общего волнового движения в упругом
теле с начальными условиями связан с существенными трудностями. Однако
интерес к исследованию гармонических процессов обусловлен тем, что уже на
промежуточном этапе удается получить важные данные о таких
характеристиках колебательных систем, как собственные формы колебаний и
спектр собственных частот. Часто этот "промежуточный" результат
становится и конечным результатом исследования той или иной колебательной
системы в виде упругого тела.
В нашей книге рассматриваются только гармонические колебания и волны. При
их изучении удобно использовать комплексную запись выражений для основных
характеристик изучаемых волновых полей. После решения конкретных
граничных задач реальные физические характеристики получаются отделением
действительной части во всех найденных величинах.
Предположение о периодичности (гармоничности) процессов во времени
предопределяет некоторую пространственную и временную повторяемость в
картине движений точек среды. В связи с этим общее выражение для
скалярного потенциала плоской волны имеет вид
Ф = Ф" (р) ехр
(рт -сго|. (3.1)
Здесь со - круговая частота процесса. При такой записи величина Ф0 (р)
является амплитудой плоской волны, зависящей только от направления
