Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
волн на препятствиях принадлежит Клебшу (1863).
10
В обширной работе он использовал уравнения теории упругости для
вычисления рассеяния волн твердой сферой в безграничной упругой среде.
Однако ему не удалось из сложного точного решения получить полную
информацию о законах отражения и преломления.
Большой вклад в изучение дифракции света, составление четкой физической
картины явления внесли работы Рэлея (1871). В них на основе упругой
теории подробно исследован вопрос о рассеянии света малыми частицами и
впервые объяснена причина голубого цвета неба.
Позднее Лоренц (1890) и Лэмб (1900) рассмотрели ряд случаев рассеяния
волн в упругом теле, содержащем сферическое включение, и подробно
исследовали энергетические соотношения для падающей и дифрагированных
волн. Однако при этом среда считалась несжимаемой, что упрощает задачу.
Довольно полный обзор ранних работ по дифракции волн на сфере приведен в
работе [781.
В дальнейшем исследования явлений дифракции света проводились на основе
электромагнитной теории, и теория упругости в этой области долгое время
не использовалась. Интерес к задачам дифракции упругих волн и тесно
связанной с ними проблеме динамической концентрации напряжений
значительно возрос лишь в настоящее время [50, 51, 2501.
3. Распространение гармонических волн в упругих телах при наличии
границы. Существование двух типов волн в неограниченной упругой среде
вызвало большой интерес к проблеме влияния граничных поверхностей на
процесс распространения гармонических волн. По существу, задача об
отражении и преломлении упругих волн на границе раздела двух
полупространств - одна из основных задач в "упругой" теории света -
раскрыла интересные проявления факта наличия двух типов волн в упругом
теле. Так, оказалось, что при наклонном падении на свободную поверхность
упругого полупространства продольной волны кроме отраженной под тем же
углом продольной возникает и поперечная волна. Более того, при
определенном угле падения продольной волны всю энергию уносит только
отраженная поперечная волна.
Однако наиболее наглядная демонстрация значительного усложнения волновой
картины в упругом теле при наличии границы содержится в работе Рэлея
(1885). В ней указана возможность существования в по л у бесконечном
упругом теле нового типа волн, которые впоследствии получили название
поверхностных волн Рэлея. Амплитуда этих волн убывает по
экспоненциальному закону при удалении от поверхности.
В дальнейшем в связи с развитием сейсмологии возник интерес к задачам о
волноводном распространении в слоистых упругих средах, а также к изучению
вынужденных колебаний полупространства под действием периодических
нагрузок. В первом направлении следует отметить работы Лява (1911) и
Стоунли (1924), в которых описаны новые типы волн для упругого слоя и
полупространства, лежащих на упругом полупространстве с иными свойствами.
11
Второе направление получило название "задачи Лэмба" после фундаментальной
работы Лэмба (1904). В этой работе построено аналитическое решение (в
виде контурных интегралов) и частично проведен анализ общих
закономерностей распространения волн в упругом полупространстве при
воздействии гармонических на-' грузок. Отмечена важная роль волн Рэлея,
уносящих большую часть энергии, подводимой к упругому телу.
Задача о распространении гармонических волн в бесконечном упругом
круговом цилиндре представляла значительный интерес при построении
приближенных одномерных теорий колебаний стержней. В работах Похгаммера
(1876) и Кри (1886) общие уравнения упругости применялись для изучения
процесса распространения гармонических продольных, изгибных и крутильных
волн в бесконечном цилиндре кругового сечения со свободной от нагрузок
боковой поверхностью. Аналогичная задача для бесконечного слоя
рассмотрена Рэлеем (1889) и Лэмбом (1891, 1917).
В этих классических исследованиях не только указано на существенное
усложнение картины волноводного распространения при наличии границы
(появление дисперсии), но и фактически построены наборы точных решений
уравнений движения. Значение последнего результата трудно переоценить,
поскольку это открыло путь к рассмотрению задач о колебаниях конечных
цилиндров.
Отметим, что полученные соотношения между частотой и длиной волны -
дисперсионные уравнения - выглядят обманчиво просто. Однако фактический и
подробный анализ уравнений Похгаммера - Кри и Рэлея - Лэмба был проведен
сравнительно недавно (в 40-х годах нашего столетия).
Еще сложнее оказалась задача о распространении гармонических волн в
прямоугольном волноводе. Хотя Ламе (1852) удалось отыскать класс волновых
движений для определенных отношений сторон волновода (эквиволюминальные
моды Ламе), общее строгое решение задачи практически не получено до
настоящего времени.
4. Колебания ограниченных тел. Наряду с задачами о распространении
волн в упругой среде немалый интерес представлял анализ гармонических
колебаний ограниченных тел. Особое внимание уделялось аналитическому
