Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре,
получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с
несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера - Кри.
Мы здесь не приводим обзор результатов исследования колебаний струн,
стержней, мембран, пластин, оболочек на основе приближенных теорий. В XIX
веке такие решения строились практически всеми исследователями,
работающими в области теории упругости и акустики. Довольно полное
собрание результатов таких расчетов представлено в первом томе
классического труда Рэлея "Теория звука" [123].
Развитие подходов к построению уточненных динамических теорий и решение
на их основе задач о колебаниях и волнах в упругих телах интенсивно
продолжается и в наше время [35].
Круг практических вопросов, при рассмотрении которых в качестве модели
среды используется идеально упругое тело, а в качестве модели процесса -
гармоническая волна, чрезвычайно широк. Имея в виду специфику процессов,
связанную как с конкретными типами упругих тел, так и с частотными
диапазонами, в этом круге вопросов можно указать четыре основные области.
1. Сейсмология. Фундаментальная проблема в теории гармонических волн
возникает здесь в связи с попытками определить свой-
14
ства среды на пути распространения волн по наблюдениям на поверхности за
свободными колебаниями Земли, вызванными землетрясениями.
Важной для сейсмологии задачей является изучение свойств неоднородных
волноводов, а -также исследование свободных колебаний Земли.
2. Акустоэлектроника. Основные задачи акустоэлектроники связаны с
возбуждением, распространением и приемом высокочастотных волн в твердых
телах, взаимодействием этих волн с электромагнитными полями. Из всех
акустических волн наибольший интерес с точки зрения практических
приложений представляют поверхностные акустические волны. Кроме того,
важную роль волновые процессы в упругих телах играют в связи с задачами
обработки сигналов, в частности в связи с созданием механических
резонаторов и фильтров.
3. Прикладная механика. Таким названием целесообразно объединить те
исследования гармонических волновых процессов, которые посвящены
разработке прикладных приближенных методов анализа, анализу колебаний
элементов конструкций, рассеянию и дифракции упругих волн.
4. Неразрушающий контроль. Во многих аспектах проблема неразрушающего
контроля связана с постановкой и анализом количественных данных о
распространении гармонических волн. Эти задачи возникают, например, при
определении формы, объема, ориентации и расположения дефектов внутри
упругого тела. Особенно сложные и интересные волновые задачи появляются в
связи с использованием явления акустической эмиссии для предсказания
долговечности конструкций.
ГЛАВА 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Распространение волн в упругом теле связано со смещением и деформацией
его элемента. Именно таким образом возмущение передается от одной точки
упругого тела к другой. При этом важно различать движение частиц среды,
связанное с распространением возмущения, и движение самого возмущения.
Закономерности такого процесса в упругой среде описываются системой
уравнений, отражающих связь между вектором смещений и,
тензорами деформаций е и напряжений Т, а также плотностью р.
В книге рассматриваются процессы распространения волн в идеальном
линейно-упругом теле. Такая модель среды полностью характеризуется тремя
величинами -двумя упругими постоянными и плотностью в невозмущенном
состоянии.
Основные уравнения движения упругой среды, занимающей область В, задаются
тремя группами соотношений [59]:
divT + b = p-|^, (1.1)
в = 4" [grad u + (grad u)], (1.2)
Т = X div u • E + 2pe. (1.3)
Здесь тильдой обозначена операция транспонирования квадрат-
А
ной матрицы; Е - единичный тензор второго ранга; X и р, - модули
упругости, называемые постоянными Ламе; b - вектор плотности объемных
сил.
Приведенная в инвариантной форме полная система соотношений для
определения всех характеристик движения элемента упругого тела при
практическом использовании привязывается к определенной системе
координат. В современных представлениях о возможности описания движения
тела или его частей выделяются четыре различных подхода [131]. В механике
сплошной среды наибольшее распространение в историческом аспекте получили
подходы Лагранжа и Эйлера, или в рамках терминологии работы [131] -
отсчетный и пространственный. Поскольку мы далее будем говорить о
смещении или скорости элемента упругого тела, а не о смещении
16
или скорости в какой-либо точке, то фактически речь будет идти об
отсчетном (лагранжевом) описании процесса. Отметим, однако, что для
линейного случая различия между двумя указанными подходами стираются
[59].
Выбирая в качестве основной характеристики, знание которой позволяет
воссоздать полную картину напряженно-деформированного состояния, вектор
