Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
смещений и частиц среды, из (1.1) - (1.3) получаем векторное уравнение
движения
Л2ц
pV2u + (к + р) grad div u + b = p -p- , (1.4)
где у2-оператор Лапласа.
Учитывая векторное тождество
V2u = grad div u - rot rot u, (1.5)
формулу (1.4) записываем в инвариантном виде:
Л 2ц
(X + 2р) grad div u - р rot rot u + b = p -p- . (1.6)
Уравнения (1.4) и (1.6) обычно называют уравнениями движения Ламе. Они
многократно выводились и использовались в работах по линейной теории
упругости Навье (1821), Коши (1828, 1840), Пуассона (1829), Ламе и
Клапейрона (1833), Стокса (1845, 1851), Ламе (1852). Приведенные ниже
иные формы записи уравнений (1.6) и частные свойства их решений также
установлены в отмеченных работах. Глубокий обзор исследований,
выполненных на раннем этапе развития теории упругости, приведен в работе
[186].
Расшифровка векторных дифференциальных операторов, введенных при записи
(1.4) и (1.6), в декартовой и цилиндрической системах координат дана
ниже. Здесь же мы обратим внимание на следующее обстоятельство,
отмеченное, по-видимому, впервые Мандельштамом [89].
Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к
элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются
инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что
векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не
инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение
оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то
уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому
преобразованию. Причина такого положения в неточности, допущенной при
вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного
элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства
d/di отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс
исчезает, однако соответствующее уравнение движения становится
нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и
отброшенные при выводе уравнений (1.1) - (1.3) в лагранжевой системе
координат, жестко связанной со средой.
2 1841
17
Для понимания возможностей линейной теории волн в упругих телах важно
рассмотреть комплекс кинематических и физических допущений, сделанных при
выводе основной системы (1.1)-(1.3). Подробный анализ процесса вывода
этих уравнений с такой точки зрения содержится в монографиях Новожилова
[105, 106].
Возвращаясь к анализу линейного векторного уравнения движения Ламе (1.6),
введем в рассмотрение величины
(1.7)
имеющие размерность скоростей. Тогда уравнение (1.6) можно записать в
виде
с?graddivu - cl rot rot u + -y = -^r- • (1-8)
Вводя сокращенные обозначения
Uaf = &V*f-*L (a=*i, 2) (1.9)
для волновых операторов, уравнение (1.6) можно представить с учетом (1.5)
в форме " .
? 2u-f(ci-c|)graddivu-f--|-=0. (1.10)
Рассмотрим случай отсутствия объемных сил, т. е. b = 0. Тогда из
уравнения (1.10) с использованием векторного тождества (1.5) легко
следуют важные свойства частных решений их и и2 уравнений движения, а
именно
rot ux = 0-> ПгЩ =0, ^ J
div u2 = 0 -"- DjUj = 0.
Видно, что частные решения для векторов смещений их и и2 описывают
распространение возмущений с разными скоростями сх и с2. Исходя из
указанных свойств векторов их и и2 скорость сх называют скоростью
безвихревой волны (rot ux = 0), с2-¦ скоростью эквиво-люминальной волны
(divu2=0).
Применяя к (1.6) при Ь = 0 операции div, а затем rot, находим
ll!i(divu) = 0, lll2(rotu) = 0. (1.12)
При этом использованы известные векторные соотношения
div rot а = 0, rot grad ф = 0. (1-13)
Поскольку сх> с2, то безвихревая часть возмущения, характеризуемая
величиной div и, распространяется быстрее, чем его вихревая часть,
описываемая величиной rot и. Поэтому в сейсмологии скорости Сх и с2
называются скоростями первичных ср{Р-primary) и вторичных cs (S -
secondary) по времени прихода возмущений. Такие обозначения используются
и в данной книге.
Часто при характеристике упругих свойств среды вместо постоянных Ламе X и
р. используют пары (Е, v), (G, v), (К, G), где G-
18
Таблица 1
Упругие постоянные Основная пара
X, |Х Е, v G, v K,G
% X vE 2 vG K-Aa
(1 + v) (1 - 2v) 1 - 2v
ц(0) и Е 2 (1 + v) G G
Е (1 (ЗХ + 2|х) Б 2G (1 + v) 9KG
X + п 3 К+ G
К к+-т" Е 2G (1 + v) К
1 СО 7 to 3(1 - 2v)
V X V V 3K - 2G
2 (А, р.) 6K + 2G
<Н 1 / X + 2р. 1 /Е 1-V 1 / 2G (1 - v) iA+4g
У р У р (1 + v) (1 -2v) r p(l- 2v)
' p
УТ V Е V 2p(l+v) Vt Vf
модуль сдвига; Е -модуль Юнга; К-модуль объемного сжатия; v - коэффициент
Пуассона. Связь между этими величинами дается в табл. 1. Значения величин
Си с%, р и v для некоторых упругих материалов приведены в табл. 2 [6, 65,
124, 157].
Уравнение движения (1.6) относительно вектора смещений и является
довольно сложным. Один из естественных путей его решения
состоит в представлении вектора и в области В в виде суммы неко-
торых вспомогательных векторов, удовлетворяющих в этой области более
