Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 9

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 114 >> Следующая

простым уравнениям типа (1.11).
Вследствие теоремы Гельмгольца из векторного анализа [58, 116] векторное
поле b/р допускает разложение
-^-=-gradx- rot у, div 7 = 0. (1-14)
Тогда для вектора смещений справедливо разложение Грина [185] - Ламе
[209]
u = grad ф +rota, (i.15)
где ф и а удовлетворяют уравнениям
?1Ф = х, П2а = у. (1-16)
"9
Таблица 2
Вещество р..*, 3- V м т м Т
Алюминий 2,7 0,35 6420 3110
Вольфрам 18,7 0,29 5230 2860
Железо 7,87 0,28 5850 3230
Золото Иттриевый алюминиевый 19,3 0,42 3140 1170
гранат 4,55 0,24 8570 5030
Кварц плавленый 2,2 0,17 5970 3780
Латунь 8,5 0,33 4240 2140
Магний 1,74 0,35 6440 3090
Медь 8,9 0,33 4560 2250
Молибден 9,0 0,20 6540 * 3500
Никель 8,7 0,31 5630 ' 2960
Олово 7,18 0,33 3320 ' 1670
Платина 21,4 0,39 3960 1670
Резина 0,93 0,499 1040 30
Свинец 11,34 0,43 2120 740
Серебро 10,5 0,38 3600 1590
Сталь 7,86 0,29 5890 3210
Стекло 2,5 0,25 5800 3350
Титан 4,4 0,30 6110 3270
Цинк 6,92 0,11 4170 2410
Доказательство того, что (1.16) удовлетворяет уравнению (1.6),
проверяется непосредственной подстановкой и использованием тождеств
div grad ф = У2ф, rot rot а = -rotV2a. (1-17)
Формально представление (1.15),, (1.16) задает выражение трех компонентов
вектора смещений через четыре другие функции - скалярный потенциал ф и
три компоненты векторного потенциала а. Это означает, что скалярный и
векторный потенциалы должны подчиняться дополнительному условию.
Обычно при рассмотрении общих вопросов динамики упругого тела в качестве
такого дополнительного условия используют соотношение
diva = 0. (1-18)
При построении наборов частных решений, необходимых для удовлетворения
граничных условий в конкретных задачах, условие (1.18) иногда удобно
заменить другим [96]. Однако равенство (1.18) широко используется при
доказательстве полноты представления (1.15). Если и - решение уравнения
(1.6) в области В, то существуют функции ф и а, удовлетворяющие
уравнениям (1.15), (1.16) и условию (1.18). Строгое доказательство этого
важного утверждения содержится в работах [104, 186, 269]. Теорема о
полноте решения Грина - Ламе впервые была сформулирована Клебшем (1863).
Определенную роль в построении четкого доказательства теоремы
го
сыграли работы Кельвина (1884), Сомильяны (1892), Тедоне (1897), Дюгема
(1898) [186]. По-видимому, эти работы до недавнего времени были мало
известны. Так, в книге [119, с. 188] утверждалось, что решение Грина -
Ламе полно только для безграничной среды. Наличие же границы приводит к
появлению других типов волн, например поверхностных волн Рэлея.
Подчеркнем, что согласно теореме о полноте представления (1.15) любой
волновой процесс в конечном или бесконечном упругом теле может быть
описан как суперпозиция волновых движений со скоростями. Сх и с2. В
случае неограниченного упругого тела волны обоих типов распространяются
независимо друг от друга. Наличие границы приводит к взаимодействию двух
типов волн и появлению волн, распространяющихся со скоростями, отличными
от Ci и сг. Примеры таких волн приведены в главах 2, 4. Однако и в этом
случае вектор смещений и можно представить с помощью двух потенциалов ф и
а.
Вместе с тем отметим также следующее. Построению общих решений уравнений
движения, как и в случае статических задач, уделяется очень большое
внимание. Представление (1.15) и (1.16), конечно, является не единственно
возможным [104, 186]. Работы по построению новых представлений несомненно
важны с точки зрения исследования структуры уравнений динамики упругого
тела. Однако если проанализировать полуторавековой исторический опыт, то
окажется, что роль таких общих представлений при фактическом решении
граничных задач теории упругости весьма мала.
Имеющиеся решения получены, вообще говоря, без существенного
использования таких общих представлений. Они удобны лишь на начальном
этапе поиска решений уравнений упругости, однако главный вопрос об
удовлетворении граничных условий, как правило, решается уже без них.
Соотношения (1.15) и (1.16) в декартовой (.х, у, z) и цилиндрической (г,
0, г) системах координат соответственно имеют вид
= дх ду дг '
дф . да2 дау
п _1- дй* - даг
иУ " ду дг ~дх
даг
(1.19)
и - iSL д. дау - да* • дг ду '
дах
1 д2аг
ъ, (1.20)
21
5q> , 1 daz да9
= ~ЗГ + "Г "50---------------------дГ •
,.л \ дц> даг даг .. 0..
ив~~Ж + ~г---------------------------------------дГ>
" _ J*P_ л. дав I _fe_______________________________L ^ .
и*~ дг ' дг ^ г г 50 '
V*m 1 1 . к у2а__________________I d2^ 1
Ф с* "* С" ' г 4 дР 4 У-
у2а 3l L да(r) L J!?j_ = _Lv (1 22)
v а' г* г2 59 'Я dt* 4 ""
(tm) Ое 2 йо> 1 ^a8 _ '1
9 г* "¦ г* 50 р2 5/2 ? ^0*
'2 ^2 v2 = Л , + + Л
5г2 г 5г г2 502 ~ дг2
Компоненты тензора деформации связаны с компонентами вектора перемещений
в этих же системах соотношениями
о _ ди* 0 _ диУ - _ диг ь* - -т-* I ь.. -----
5л: ' У ду ' г дг
диг . di
вТ + 1
(1.23)
оР _ i"?. J. 2е - д_ Л. Ос в _1_ Л
^ " ду ^ дх ' *г ~ 5z ' 5л ' "г ду ' дг
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed