Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
28гв :
диг 1 , 5"в ) диг
~ дг ' 60 - г ГГ + 50 J ' Е* ~ 5г *
1 диг , д"е "9 о" Э"е , 1 диг п олч
;-яг + ~Тг------------------г-" 2евг - ~лт + т ~ж- > I1-24)
50 ' дг Г * 5г /¦ 50
2е =Л_ + Л
Z!V ~ 5г + 5г
Напряжения и деформации связаны соотношениями закона Гука, имеющими в
декартовой и цилиндрической системах координат вид
1 1 v0 1 v0
2G СТ* - Е* "т- 1 - 2v ' 2G аУ~ЪУ~т- i _ 2v '
"2G~ CTz = ez + [ _ 2V > "2G~ T*jf = 8*У> "2G" Т"г == Е^г' (1-25) J_T _ g
Q _ Л. _1_ Л щ Л- •
2o z* zz" 5л; i- i- 5Z *
1 - , v0 1 v0
2G ar - ef -f j _ 2v , 2g ae - (r)0 + i _ 2v '
1 . V0 1 1 /i f)C\
2Q = ez "Г j 2v * 2G = 2G г
-2^- = ezri e = e, + ее + ez.
22
Рассмотрим некоторые частные решения уравнений (1.6), описывающие плоские
волны в безграничной упругой среде при отсутствии объемных сил. Первое
решение соответствует случаю а = 0 в (1.15). Решение волнового уравнения
(1.16) для скалярного потенциала имеет вид
Ф = /(р-г - cj). (1.27)
Здесь г - радиус-вектор произвольной точки упругого тела; р - единичный
вектор, определяющий направление распространения волны,- волновой вектор.
Из (1.16) находим соответствующее смещение
и = р/' (р • г - Cjt), (1.28)
где штрих указывает на производную по полному аргументу.
Из последнего выражения следует, что в бесконечной упругой среде со
скоростью С\ распространяется плоская волна. Смещение частиц совпадает с
направлением распространения волны, определяемым вектором р. В связи с
этим такая волна называется продольной. Движение частиц среды,
обусловленное этой волной, безвихревое, т. е. rot и = 0.
Иной тип частных решений уравнения движения получаем, полагая в (1.15) ф
=0. Решение в виде плоской волны векторного волнового уравнения (1.16)
имеет вид
а = A0g(p ¦ г - c2t). (1.29)
Здесь А0- некоторый фиксированный вектор.
Соответствующий вектору а вектор смещений точек упругого тела
определяется равенством
и = (Р X A0)g' (р • г - c2t). (1.30)
Если представление (1.29) вектора а подчинить условию (1.18), то находим
А0 • Р = 0, (1.31)
т. е. векторы А, и р взаимно перпендикулярны. Таким образом, в этом
случае имеем плоскую волну, распространяющуюся со скоростью с2 в
направлении вектора р. Вектор смещения частиц перпендикулярен вектору р.
В связи с таким свойством вектора смещений волна называется поперечной.
При ее распространении объем элемента среды не изменяется, т. е. div и =
0.
В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был
несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел
связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений
для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий,
отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его
начальное состояние. При этом оказывается, что ' произвольные волновые
движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут
быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления
распространения и амплитуду [981.
23
§ 2. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Линейные уравнения (1.6) описывают волновые движения в однородной
изотропной упругой среде. Для полной постановки граничной задачи
математической физики эти уравнения необходимо дополнить начальными и
граничными условиями.
Что касается начальных условий, то для уравнений (1.6) они формулируются
так же, как и для классического волнового уравнения [129]. В начальный
момент времени t = 0 во всем объеме В, занимаемом упругим телом, задаются
смещения и скорости всех частиц среды, т. е.
u = u0, = v0, t = 0. (2.1)
Интегрированию уравнений движения (1.6) с начальными условиями (2.1) в
безграничной упругой среде посвящено значительное число работ выдающихся
математиков и физиков прошлого столетия [82]. В них обобщалась картина
движения [129], описывающегося классическим волновым уравнением.
Несвязанность двух типов волн привела к тому, что и в случае упругого
пространства физическая картина распространения возмущения из конечной
области оказалась довольно ясной [82, 123, 270].
Стокс [270] установил, что вне возмущенной области со скоростями с1 и с2
распространяются продольные и поперечные волны. Если следить за некоторой
отдаленной точкой Q, то в начальный момент времени t = 0 она находится в
покое. Когда приходит продольная волна, точка смещается. По истечении
промежутка времени (г2 - г^)1съ где гхиг2 - минимальное и максимальное
расстояния от точки Q до области начального возмущения, продольная волна
уходит. В течение промежутка времени А? = г2/сг- rjc2 не происходит ни
растяжения, ни сдвига, однако среда не является абсолютно возмущенной.
Движение в окрестности точки Q будет такого же характера, как и
безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости. Затем в течение
времени (г2 - г^!сг действует поперечная волна. После прохождения этой
волны волновое движение заканчивается.
Чрезвычайно важным моментом как с точки зрения усложнения волновой
