Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(части) системы. Естественно,
3*
"
априорное указание на наличие особенности в этом случае не является
указанием на необходимость использования приближенного подхода,
"снимающего" особенность, а должно рассматриваться как указание на
несоответствие принятой расчетной схемы и критериев оценки результатов,
полученных с ее использованием.
Остановимся также еще на одном моменте, следующем из сделанных выше
замечаний относительно возможности "убрать" особенность при помощи
подбора нагрузки на поверхности упругого тела Ситуация здесь абсолютно
естественна в рамках следующих рассуждений. Пусть из анализа однородных
условий известно, что в изучаемой задаче возможно возникновение
сингулярности типа р~" при подходе к некоторой точке. Тогда в каждом
конкретном случае главное слагаемое в некотором компоненте тензора
напряжений будет иметь вид о "г Ар~а. Если величина а полностью
определяется типом однородных граничных условий, материалом и геометрией
области, то величина А зависит и от характера внешней нагрузки. В такой
трактовке ясно, что частный случай А - 0 не является указанием на
отсутствие особенности в общем случае.
Заканчивая рассмотрение вопроса об особенностях, объясним причину столь
пристального внимания к этому вопросу в данной книге. Дело в том, что с
появлением сингулярностей в граничной задаче связаны не только описанные
трудности в трактовке конечных результатов решения. Оказывается, что
априорное знание характера особенности в рассматриваемой задаче часто
дает возможность сделать далеко идущие выводы о свойствах ее решения в
целом. Особенно это относится к случаям, когда такое решение ищется в
виде рядов по полным системам функции некоторой задачи Штурма - Лиувилля.
Важнейшим свойством рядов по ним является зависимость характера убывания
коэффициентов разложения от локальных свойств представляемых функций.
Часто это позволяет еще до решения задачи найти асимптотические выражения
для искомых величин. Такая возможность используется в рассматриваемых в
книге задачах и является основой получения удовлетворительной точности в
рамках достаточно простых вычислений.
36
§ 5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.
УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
В ряде случаев, когда границы области, в которой изучается волновое поле,
уходят в бесконечность, неоднозначность решения соответствующей задачи
можно связывать не только с наличием сингулярностей. В этих случаях кроме
характера особенности необходимо указать дополнительные условия,
описывающие структуру волнового поля на бесконечности в соответствии с
физическими особенностями задачи. Когда все источники энергии
сосредоточены в конечной области пространства, такие дополнительные
условия называются условиями излучения.
Физическое содержание условий излучения для полей различной природы
чрезвычайно ясное - они требуют, чтобы на бесконечности отсутствовали
источники энергии. Трудности с использованием этих условий возникают при
естественном стремлении перевести указанное физическое определение на
язык математических соотношений, связывающих характеристики изучаемого
поля.
В случае поглощающих сред формулировка условий излучения не представляет
труда. Достаточно потребовать, чтобы все характеристики поля стремились к
нулю с увеличением расстояния от имеющихся источников энергии. Для
непоглощающей среды ситуация существенно усложняется.
Математическую формулировку условий излучения наиболее просто получить в
случае акустических волн в изотропной среде. Впервые они получены
Зоммерфельдом (1912) и подробно обсуждены в работах [85, 115, 128]. Если
функция ф (потенциал скорости или избыточное давление в акустике)
удовлетворяет уравнению Гельмгольца, то однозначность решения краевой
задачи в бесконечной области - внешней части некоторой замкнутой
поверхности, с границей, не уходящей в бесконечность,- можно обеспечить
требованиями
lim гф = const, lim г ------------= 0. (5.1)
Г-+оо г-+:о \ j
Здесь г - радиус в сферической системе координат с центром внутри
области, где расположены источники. Отметим, что знак минус во втором
равенстве связан с выбором знака в экспоненциальном временном множителе;
мы принимаем зависимость ехр (-Ш).
Используя возможность представления вектора смещений в упругом теле в
виде
и = Цх + и2, (5.2)
где их и и2 описывают движение соответственно в продольной и поперечной
волнах и удовлетворяют порознь уравнениям Гельмгольца, условие (5.1)
можно перенести на случай безграничной упругой среды [74, 171], а именно
lim г I uj = const( |im г ^----iktu,j = 0, ( =• 1,2. (5.3)
31
Такую запись можно считать недостаточно четкой в том смысле, что по форме
она связана с разбиением вектора смещений на две составляющие. Общий
анализ интегральных представлений поля смещений через функцию Грина [251J
приводит к условиям излучения, выраженным через полный вектор и. Однако
после подстановки в них выражения (5.2) снова приходим к соотношениям
(5.3).
