Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
идеально упругого тела, решение вопросов об особенностях проводится с
использованием дополнительного важного положения. Смысл его состоит в
том, что вопрос об особенностях при гармонических процессах в упругих
телах может быть выяснен на основе анализа решений соответствующих
статических граничных задач. Это положение можно обосновать, повторяя
соображения, позволяющие пренебречь "инерционными" членами в уравнении
Гельмгольца для акустики и Максвелла для электродинамики [97, 144]. При
этом рассматривается деформирование области, размеры которой существенно
меньше длины волны.
В настоящее время вопрос о типах особенностей, возникающих в статических
граничных задачах теории упругости, решен не полностью. В частности, в
качестве нерешенного можно отметить вопрос об особенности в окрестности
угла клиновидного (прямоугольного) штампа на полупространстве. Однако
многие ситуации уже достаточно ясны и знание характера особенности часто
может служить основой для существенного улучшения алгоритма решения
задачи.
1. Особенности напряженного состояния для гладкой граничной
поверхности. В данном случае особенности в напряженно-деформированном
состоянии могут возникнуть за счет разрывного характера нагрузок в
граничной задаче (2.3) или смены типа граничных условий (задача (2.4)).
Л
Рис, 3,
В случае разрывного характера нагрузки возможные ситуации представлены на
рис. 2. Здесь показана часть гладкой граничной поверхности S упругого
тела, вдоль линии L которой имеем разрыв нормальных или касательных
нагрузок. На самой этой линии можно выделить два типа точек - точки Л и
В. Для точки А характерно то, что ее можно окружить малой областью,
размер которой существенно меньше радиуса кривизны линии L в этой точке.
Напротив, в точке В такую область указать нельзя.
Для точек первого типа (точки Л) вопрос об особенностях в напряженно-
деформированном состоянии можно решить на основе рассмотрения некоторых
простых задач теории упругости о плоской деформации полупространства.
Соответствующие разрывам нормальных и касательных нагрузок ситуации в
этом случае схематически показаны на рис. 3. Полное решение таких задач
хорошо известно [127]. Из их анализа следует, что в случае наличия скачка
в нормальной нагрузке (см. рис. 3, а) логарифмическая особенность
появляется при подходе к точке 0 в выражении для угла поворота
относительно оси Oz, т. е.
"."^Г-Т5Г' = '4<в>1"Р- ¦ <4-П
В случае разрыва в касательной нагрузке (см. рис. 3, б) возникает
логарифмическая особенность в окрестности точки 0 для напряже-
32
ний ах, т. е.
<зх ж В (0) !п р.
(4.2)
Все остальные характеристики напряженно-деформированного состояния в
обеих рассматриваемых задачах остаются конечными при подходе к точке
разрыва внешней нагрузки.
Несколько сложнее ситуация при рассмотрении локальных свойств напряженно-
деформированного состояния в окрестности точки В (см. рис. 2). Это
связано не столько с усложнением физической картины, сколько с тем, что
для расшифровки такого состояния необходимо использовать решение более
громоздкой пространственной задачи о нагружении по ограниченному участку
упругого полупространства. При этом область нагружения должна обладать
угловыми точками.
Одна из возможных постановок задач в данном случае показана на рис. 4,
где область нагружения является прямоугольным треугольником с углом Р при
вершине В. Здесь для построения полного решения можно использовать
результаты монографии [80]. Анализ соответствующего рассматриваемому
способу нагружения решения показывает, что здесь углы поворота
относительно осей Ох и 0у имеют логарифмическую особенность при подходе,
например, к вершине В треугольника ВОС, т. е.
Отметим, что в соответствии с ранее указанными свойствами
(3.1) угла поворота функция Сх (0), в свою очередь, сингулярна (имеет
логарифмическую особенность) в окрестности лучей 0 = 0 и 0 = р в пределах
длины соответствующих сторон треугольника. Для С2 (0) сингулярным
является лишь луч 0 = Р
Если рассматривать задачу о разрыве касательных нагрузок, заданных в
пределах того же треугольника, то к аналогичному заключению приходим для
нормальных напряжений ох и ау в окрестности вершин треугольника.
Следующий этап исследования связан с изучением особенностей, возникающих
при задании на разных участках границы различных условий. Полностью этот
вопрос еще не исследован. В частности, имеются определенные трудности при
анализе характера особенности вблизи края клиновидного гладкого или
жестко сцепленного штампа на полупространстве. Это затрудняет решение
вопроса о характере особенности в окрестности точек типа В (см. рис. 2).
Однако имеющиеся довольно полные результаты решения смешанных задач
плоской теории упругости [99] позволяют полностью выяснить вопрос об
особенностях в окрестности точек типа А (см. рис. 2).
(4.3)
3 1841
33
К конкретному решению данного вопроса возможны два подхода С одной
стороны, можно исходить из хорошо изученных точных решений граничных
