Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 19

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 114 >> Следующая

В предыдущей главе важнейшими являются два момента. Прежде всего ясно,
что, каким бы ни было волновое движение в упругом теле, оно всегда
представимо в виде суперпозиции продольных и поперечных волн. Кроме того,
получение конкретных данных о различных частных случаях волновых движений
возможно лишь на основе решения корректно поставленных краевых задач.
Прежде чем перейти к построению и анализу решений ряда таких задач,
остановимся на рассмотрении волновых процессов, для описания которых в
полном объеме краевая задача не формулируется. Это процессы отражения и
преломления упругих волн на плоской границе. При их изучении не ставится
вопрос о способах генерации падающей плоской волны, хотя граничные
условия на свободной поверхности или поверхности раздела выполняются
точно. Такая постановка задачи приводит к некоторым противоречиям в
случае скользящего падения, однако в остальных случаях дает чрезвычайно
наглядную картину взаимодействия упругих волн с плоской границей.
Когда упругая волна достигает границы, то часть переносимой ею энергии
отражается, а часть переходит в иную среду. В общих чертах здесь имеем
явление, аналогичное наблюдаемым при распространении акустических и
электромагнитных волн. Однако существование в упругом теле двух типов
волн делает этот процесс более сложным; он отличается прежде всего
возможностью взаимного преобразования волн расширения и сдвига на
границе.
Исторически интерес к вопросу о преломлении и отражении упругих волн в
значительной мере стимулировался развитием теории эфира [122, 149, 180].
Особенности поведения упругих волн вблизи границы интересны для
сейсмологии [15, 175, 216]. В настоящее время количественный анализ
процессов преломления и отражения на границе раздела различных сред
представляет большой интерес для электронной техники, дефектоскопии и т.
д. [20, 55, 139, 156]. Подробный обзор теоретических результатов и
возможностей практического использования наблюдаемых здесь эффектов не
является нашей целью. Здесь мы ограничимся рассмотрением только тех
ситуаций, которые с помощью наиболее простых средств позволяют показать
главные особенности процесса преломления и отражения упругих волн.
Рассмотренные нами особенности взаимодействия
43
упругой волны с границей в значительной мере предопределяют исключительно
сложную картину волновых полей в случае тел конечных размеров.
§ 1. ОТРАЖЕНИЕ ОТ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Важный частный случай общей проблемы составляет задача об отражении от
свободной границы полупространства продольных и сдвиговых плоских
двумерных волн. В этом случае выкладки достаточно просты и за счет
наличия явных выражений для коэффициентов отражения достигается большая
наглядность в оценке влияния разных факторов. Кроме того, полученные
здесь соотношения позволят более глубоко осветить структуру дисперсионных
соотношений в случае плоского волновода (см. гл. 4).
В процессе отражения сдвиговых и продольных волн от свободной границы 2 =
0 упругого полупространства существуют определенные различия, которые мы
рассмотрим отдельно. Схематическое изображение ситуаций показано на рис.
9. Случай, показанный на рис. 9, а, соответствует падению продольной P-
волны, на рис. 9, б - падению сдвиговой SV-волны. Такое построение рис. 9
в значительной мере предполагает заданной направленность волнового
процесса, которая необходима для полной конкретизации задачи (глава 1, §
5).
Пусть на свободную границу 2 = 0 упругого полупространства падает плоская
волна расширения (P-волна), которая описывается потенциалом (временной
множитель exp (-iat) здесь и далее опущен)
Ф = Ф0ехр [ikp (xcos 0 -f 2 sin 0)], (1.1)
, (О
где kp - волновое число продольных волн.
Ср
В соответствии с возможностью существования двух типов волн предполагаем,
-что отраженные волны представляют собой сумму
44
продольных и поперечных волн, которые описываются потенциалами фйй.
Вследствие двумерности задачи из трех компонентов вектора а отличной от
нуля будет только компонента ау, т. е. компонента, перпендикулярная к
плоскости г 0 х (см. рис. 9). В соответствии с принятыми на рис. 9, а
обозначениями можно записать
ф = (Dj exp [ikp (х cos 0г - г sin 0Х)], ^ g
аи - Ах exp [iks (х cos ух - г sin yj],
где ks = - волновое число сдвиговых волн. Волновые потен-
cs
циалы удовлетворяют двумерным уравнениям Гельмгольца
<?аф . (?2ф , ,2 п
дх* дг* р(р - *2
(1.3)
д*ад , д*а,
дх* ^ дг*
Соответствующие (1.1) и (1.2) компоненты вектора смещений определяются
равенствами
дх + дг ' дг дх ' ( '
Используя соотношения закона Гука, записываем следующие выражения для
напряжений:
2 7 1____________ с)2ф v&p . д*ау
~ШГ°Х ~дХ* +~ШГ •
1 ^ " &аВ п Кч
2G г~ дг2 1-2тф дхдг ' ^ )
1 с^ф I д*ау I сРау
~2G~Ххг ~~ ~Шг + Т дг2 Т дх* '
Граничные условия для свободного полупространства имеют вид
= г=а (L6)
Эти условия позволяют определить два коэффициента отраженных волн Фг и Л,
через известную величину Ф0. Подставляя выражения
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed