Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Условия (5.1) и (5.3) по существу являются правилами выбора знака фазовой
скорости гармонических волн [84]. Во многих практически важных случаях
для задач акустики, упругости и электродинамики выбор из двух возможных
волн той, у которой фазовая скорость направлена в бесконечность,
действительно отражает физический факт, что на бесконечности нет
источников энергии. В связи с этим отметим, что запись условий излучения
в виде (5.1) и (5.3) связана с предположением одинаковой направленности
фазовой скорости и скорости переноса энергии в гармонической волне [84,
86, 88]. Чтобы более полно раскрыть следствия такого предположения,
необходимо кратко остановиться на понятиях потока мощности и групповой
скорости. Они особенно важны и необходимы при формулировке условий
излучения для областей с уходящими в бесконечность границами.
Прежде чем перейти к описанию этих понятий, обратим внимание еще на один
важный, с нашей точки зрения, вопрос. Тот факт, что в упругом теле
следует раздельно формулировать условия излучения для каждого возможного
типа волнового движения, является очень важным. Если обобщить его на
области с уходящими на бесконечность границами ("слой"), то становится
ясной принципиальная сторона трудностей, возникающих при формулировке
условий излучения для таких областей. Эти трудности, очевидно, связаны с
тем, что формулировке условий излучения должен предшествовать глубокий
анализ структуры поля для определения возможных независимых типов
волнового движения в области. Такая задача является довольно сложной. Ее
решение применительно к распространению волн в слое и цилиндре приведено
далее в главе 4. Для случая акустического слоя условия излучения
сформулированы в работе [115].
Понятие потока мощности как энергетической характеристики процесса
распространения волн впервые введено Умовым в 1874 г. [136]. В принятых
обозначениях вектор плотности потока мощности Р определяется равенством
[116, 157]
Р = -Т • и. (5.4)
В декартовых координатах, определяемых единичными векторами
е*, %, ег, произведение тензора напряжений на вектор скорости час-
тиц представляется в виде
- Р = е* (охих + ххуйу + хХ2иг) + е" (ххуйх + а^у + хугиг) +
+ е* (*"", + чл + °*"*)- (5-5)
м
При записи соотношений (5.4) и (5.5) тензор напряжений и вектор скоростей
является вещественными функциями. Однако при исследовании гармонических
волновых процессов удобно пользоваться комплексными функциями. В связи с
этим целесообразно указать способ вычисления потока мощности с
использованием комплексных величин.
При рассмотрении гармонических волновых процессов обычно
гг, 2л
анализируется не мгновенное, а среднее за период Т - -- зна-
чение потока мощности. Оно определяется равенством г
P = ^jPdt =-----------?-(Т ¦ и* - Т* • и). (5.6)
о
Здесь плотность потока мощности выражена через амплитуды тензора
напряжений и вектора смещений, причем * - знак комплексного сопряжения.
Используя правило (5.5), находим следующее представление для компонентов
вектора Р в декартовой системе координат:
т; /со / * . * . * * * *
Рх = j- (ахих + хХуиу + хх2иг - охих - х хуиу - ххгиг),
~ {Q /* * * * * *\/С *7\
Ру = 4" (^ухих "Ъ 8уиУ + Ъухих GyUy tygUg)* (5-7)
-7; ко . * . * , < * * * .
Pz= 4- + Х*Уи" + a*"* " " Хг"ии ~ а*иг)-
Вопрос о формулировке закона сохранения энергии при распространении волн
и связанный с ним вопрос о возможности введения понятия потока мощности
через незамкнутую поверхность подробно обсуждались применительно к
электромагнитным полям [88, 125]. При этом указывалось на возможность
неоднозначного определения потока мощности через незамкнутую площадку без
нарушения закона сохранения энергии для замкнутого объема.
При рассмотрении акустических волн (упругое тело или идеальная сжимаемая
жидкость) вектор плотности потока мощности можно ввести по определению
мощности как произведение силы на скорость в точке ее приложения. Поэтому
в данном случае нет необходимости понятие потока мощности связывать с
замкнутыми поверхностями.
Для характеристики скорости переноса энергии в связи с распространением
волн в средах без потерь очень важным оказывается понятие групповой
скорости. Оно принадлежит к тем физическим понятиям, углубление
содержания которых не прекращается и в наши дни. Среди публикаций на эту
тему известны не только работы, интересные с точки зрения истории
формирования понятия [77], но и посвященные дальнейшему его обобщению
[112].
Существует несколько способов определения величины групповой скорости.
Для гармонического процесса естественно определение,
"
которое можно назвать энергетическим. Рассмотрим некоторую поверхность S
в упругом теле, нормаль п к которой в каждой точке параллельна вектору Р
в (5.7). Эта поверхность может быть как замкнутой, так и незамкнутой (в
случае наличия границ, уходящих в бесконечность).
Определим средний за период полный поток мощности через поверхность
¦ W = J Р . ndS (5.8)
s
и среднюю за период суммарную энергию в слое единичной толщины со
