Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ее прохождении.
Для случая продольных волн между направлением распространения возмущения
и направлением смещения частиц нет отличия. Поэтому далее речь идет
только о поперечных волнах. Для конкретного рассмотрения вопроса о
поляризации необходимо ввести систему координат. Пусть ось Oz совпадает с
направлением волнового вектора р поперечной волны, а остальные две оси
условно назовем "горизонтальной" и "вертикальной". Тогда произвольное
смещение частицы и в такой волне можно представить в виде суммы двух
взаимно ортогональных векторов и* и иу, направленных по выбранным осям Ох
и 0у. При этом возможны следующие ситуации, показанные на рис. 1.
Если и у = 0, то имеем дело с волной, в которой вектор смещения частиц
лежит в горизонтальной плоскости zOx и изменяется по закону (см. рис. 1,
а).
Волна, у которой вектор смещения частиц параллелен некоторой
фиксированной плоскости, называется плоскополяризованной. Выражение (3.9)
определяет горизонтально поляризованную волну, обычно называемую SH-
волной.
Аналогично определяется вертикально поляризованная волна (SV-волна),
смещение частиц для которой задается выражением (см. рис. 1, б).
u, = Uxex exp [i (k2z - (c)01; u, = u* = 0.
(3.9)
uff = Ufaexp [i (k2z - (of)], ux = u* = 0. (3.10)
29
Произвольная линейная комбинация выражений (3.9) и (3.10) с
действительными коэффициентами также определяет плоско поляризованную
волну в плоскости, проходящей через ось Oz (см. рис.
1, в).
Если рассматривать суперпозицию движений (3.9) и (3.10) с произвольным
постоянным сдвигом фаз а, то получаем движение
u = (Uxex + Uу exp (ia) еу) exp [i (k2z - to/)]. (3.11)
Взяв вещественную часть от (3.11), находим, например, при г = 0 u (t) =
exUx cos соt + eyUy cos (at + a). (3.12)
Отсюда следует, что с течением времени конец вектора смещений описывает
эллипс (см. рис. 1, г). В частном случае Uх = Uy, а =
= ± получаем поперечную волну с круговой поляризацией (см. рис. 1, 3).
§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ В ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ
Вопрос о локальных особенностях в физических полях различной природы при
изучении их методами математической физики имеет принципиальное значение.
Рассматривая кратко этот вопрос применительно к динамическим задачам
теории упругости, следует обратить внимание на три существенных момента.
1. Возникновение локальных особенностей, т. е. стремление к бесконечности
некоторых характеристик поля, следует рассматривать как "расплату" за
слишком грубое и противоречивое моделирование реального явления. Причем
речь идет не только о свойствах модельной среды (идеально упругое тело),
но и о постановке задачи в целом, включая моделирование характера границы
и свойств внешних объектов.
2. Как правило, при возникновении локальных особенностей в решении
граничной задачи математической физики обнаруживается неоднозначность.
Это значит, что возможно построение нескольких решений, удовлетворяющих
основным уравнениям задачи и различающихся только скоростью стремления к
бесконечности той или иной характеристики поля. Следовательно, для
правильной формулировки граничной задачи в тех случаях, когда в ее
решении возможно возникновение локальных особенностей, необходимо
предопределить их характер. Только после этого задача становится
однозначно разрешимой.
3. Знание характера особенности в решении граничной задачи до получения
самого решения можно использовать для существенного повышения
эффективности алгоритма количественной интерпретации общих формул.
В акустике и электродинамике после получения Зоммерфель-дом (1895)
решения задачи о дифракции на полуплоскости [57] исследованию характера
особенностей в зависимости от свойств среды, геометрии области и
характеристик границы уде-
30
лялось большое внимание [97, 144]. Постановка граничных задач в этих
разделах физики в настоящее время включает задание типа особенности в
месте ее возникновения.
В теории упругости всестороннее обсуждение вопроса об особенностях в
полях напряжений (деформаций) началось позднее. Обсуждение одного из
аспектов этой проблемы, а именно вопроса о постановке задач о трещинах в
идеально упругом теле, было довольно глубоким и интересным ПО, 61, 117].
Кроме того, следует отметить важные результаты, полученные в работах [26,
63, 173, 285]. Проведенные исследования относятся к случаю статических
задач теории упругости. Если эти результаты характеризовать в целом, то
следует выделить два аспекта. С одной стороны, накоплен обширный
количественный материал о "показателе особенности" и его зависимости от
свойств упругих сред, геометрии области. С другой - важным является
сформулированный в процессе этих исследований принцип о том, что вопрос
об особенности в каждом конкретном случае может быть решен на основании
анализа упругих полей в очень малых окрестностях "подозрительных"
относительно сингулярности точек без решения сложных граничных задач для
всего тела [2, 147, 162, 2761.
В рамках данной работы, посвященной вопросам установившихся колебаний
