Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
интеграл по нему равен нулю, в то же время интеграл по верхней
полуокружности при t < 0 равен нулю по лемме Жордана, это приводит к
обращению в нуль интеграла (1.28).
При t > 0 замкнем контур интегрирования в нижней полуплоскости
(аналогично предыдущему интеграл по нижней полуокружности равен нулю) и
получим
/ ----relpr~lpot = -2TTiRes\P0.
Jc2 J (27Г) г §^~Ро~ге
Здесь Res \Ро - вычет подынтегрального выражения в точке Ро = р2/2га -
is. Таким образом, при t > О
[ d Р^РО____1_____ ipr-ipot _ 2 7* f d P
J (2n)4&-P0-ie J (2тг)Ч
т. e. в точности (1.25) при t > 0.
Итак, мы доказали, что выражение (1.25) совпадает с (1.28). Явный вид
Go(p,Po) (1.28) можно получить непосредственным решением уравнения
Шредингера для свободной функции Грина (в (1.27) мы его просто угадали).
Имеем
GoM) = i5(r)6(t) . (1.29)
dt 2 га Ищем решение в виде (1.27):
°ом)=/ (1^о"(р-и)е'р'"я'-
Подставив (1.27) в (1.29) и используя соотношение
5пт = j Щ4е*рг~*р°1' (L3°)
получим
т' е' Со(р,ро) = -2-----
(2тт)1
i'pr-ipot
Ьг -Ро-ге
1.1. Функция распространения
19
малая добавка -гг введена для того, чтобы обеспечить выполнение условия:
при t < 0, Go(t) = 0. Введем теперь импульсное представление для
потенциала внешнего поля:
V(r,t) = J (1.31)
V(q) = J d3rdte-icir+igotV(r, t), (1.32)
где q = (q0,q).
Подставляя (1.27) и (1.31) в выражение для Gi(r2, t2; ri, ti), будем
иметь для процесса:
Go -iV Go -----------------•-----------------
ri,ti r',t' r 2,t2
f d4Pi
G'i(r2,t2;r1,t1) = f d3r'dtf J Л^Со{р2уР^-г')-гРМ^) x
G0(r2,t2;r/,t/)
xH) I J =
--------------V------------- v-
- iV(r',t') Go(r/,t/;ri,ti)
= J dip2diqdip1 J (г3г'^е*(-Р2+ч+Р1)г'е*(Р2о-до-Р1о)*' x
4-------------------v-------------------'
(:27v)4d4(p1+q-p2)
x e*p2r2-iPwt2 e-iplPl +ip10i1 Go (p2) [_y (g)] Go (pi) -4^ •
(Z7TJ-lzZ
Интегрирование no <i3r', dtf привело к ^-функции, что является выражением
закона сохранения энергии-импульса. Интегрируя по d4q, получим
окончательный результат:
Gi(r2,t2;ri,ti) = [ ^Il^le-ipiri+ipi0tleip2r2-tp20t2 х J (2тт)Н
xGo(p2)[-V(p2 - Pi)]Go(pi). (1-33)
Таким образом, взаимодействие приводит к тому, что первая поправка к
свободной функции Грина уже не является функцией только разностей
20
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
1*2 - i*i; ?2 - ti. Go можно переписать в аналогичной форме
^^S(Pl - p2)Go(pi)eip2r2-ip2ot2e-ipiri+ipiotl. (1.34)
7г )4г
Введя точную функцию Грина в импульсном представлении G(p 1,^2) по
формуле
G(r2,i2;r1,t1)= [ ег(р2Г2e-i(pin)G(Pl,р2) , (1.35)
J {Z7r)Ql
получим, учитывая (1.34), (1.33),
G(pi,p2) = (2Tr)4S(p1-p2)Go(p1)+G0(p2)[-V(p2-p1)}G0(p1) + - ¦ ¦ (1.36)
Графически (1.36) выглядит так:
G(p) (2tt)4(5(pi -p2)Go(p2) Go(pi) -V G0(p2)
Pi P2 pi P2 pi P2
Если повторить аналогичные выкладки для следующей диаграммы
Pi_____________________________ р' _Р2_
I 1,1 // ,// ,
ri, ti Г , t Г ,? Г2,t2
получим для G2(pi,p2) следующее выражение:
G2(pi,p2) = Go(pi) У J^aV(p' ~Pi)Go(p')V(p2-p')G0(p2). (1.37)
Выражение для G\(p\1p2) (второе слагаемое в (1.36)) соответствует первому
борновскому приближению в обычной квантовой механике (-V(p2-pi) -
амплитуда рассеяния в этом приближении). (1.37) соответствует второму
борновскому приближению, причем интегрирование по импульсам эквивалентно
суммированию по промежуточным состояниям.
Аналогичным образом можно сформулировать общие правила построения функций
Грина Gn для любой диаграммы:
Pi__________________р________ р"_________________Р2______
-V(p' - pi) -V(p" - р') -V(P2 - р")
Каждой линии сопоставляется свободная функция Грина Go(pi), каждой
вершине [-V] по всем импульсам промежуточных линий производится
интегрирование <i4p/(27r)4.
1.2. Как вычислять наблюдаемые величины
21
1.2 Как вычислять наблюдаемые величины
1.2.1 Амплитуда рассеяния
Вычислим, к примеру, амплитуду рассеяния. Пусть нам задано начальное
состояние Фг(г, t). В результате взаимодействия частица переходит в
состояние Ф(г, t). Волновая функция Ф(г, t) содержит информацию о
взаимодействии и "помнит" начальное состояние. Амплитуда вероятности
того, что возникнет состояние Ф/, есть
Это выражение можно переписать при помощи функции распространения.
Поскольку
то амплитуда перехода г -> / или матричный элемент матрицы рассеяния S
запишется так:
Кроме того, в полученном выражении нужно времена устремить к
бесконечности: >оо, ^ оои окончательно, переходя от функции К
к G, получим
Вычислим (1.38) для реального процесса: пусть свободная частица с
импульсом pi, провзаимодействовав с полем, перешла в состояние с
импульсом р2, т. е.
(1.38)
_ eipir-i(pl/2m)t ^ _ eip2r-i(pl/2m)t
Тогда
(1.39)
22
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Здесь мы использовали разложение (1.35) для функции Грина G(г, t; г',
tr). Интегрирование в (1.39) по <i3r, d3r' дает
(2тг)3<5(р2 - р'2)(2тг)3(5(р1 - р^).
В результате получим
SP2,P1 = [dpwdp20eit^2m-^e-it'^/2m-^G(p1,p2). (1.40)
{Z7T)zl J
Теперь вспомним разложение G(p 1,^2) в ряд (1.36):
G(pi,p2) = (2tt)4(5(pi -p2)G0(j>i) + G0(p2)[-V(p2 - Pi)]G0(p1)+ +G0(pi) J
