Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Хотя ничего нового для свободного поля мы не получим, это нам понадобится
при рассмотрении взаимодействия. Предположим, что электромагнитное поле
состоит из фотонов - квантовых частиц, которые описываются некоторой
волновой функцией. Свободные фотоны должны описываться одинаково хорошо и
квантовомеханически, и классически, поскольку квантовые эффекты начинают
сказываться, когда обратное воздействие прибора на изучаемый объект
становится не малым, т. е. при наличии взаимодействия. Однако
классическое поле мы можем наблюдать непосредственно, поскольку изменение
поля при взаимодействии с прибором в этом случае несущественно. В
квантовой механике ситуация меняется. Частица описывается волновой
функцией Ф(ж), которая сама по себе непосредственно не измеряется.
Квадрат же |Ф(ж)|2 (плотность вероятности) определяет физические величины
и потому измерим. Интеграл от плотности вероятности дает вероятность
найти квантовомеханическую частицу где-либо в пространстве и не зависит
от времени
J |Ф12d3r = const. (1.55)
Сохранение вероятности является одним из основополагающих принципов
квантовой механики.
Попытаемся сконструировать для фотонов величину Ф, допускающую
вероятностное толкование, т. е. обладающую свойством (1.55). С другой
стороны, она должна удовлетворять (1.54), которое описывает
распространение фотонов в пустом пространстве со скоростью с.
Вспомним, как получается сохранение интеграла (1.55) в обычной квантовой
механике. Волновая функция Ф комплексна и удовлетворяет
1.3. Электромагнитное поле
27
уравнению Шредингера
V2
= я = -5й (1-56)
Комплексное сопряженное к (1.56) уравнение имеет вид
<9Ф*
-г- = Я*Ф*. (1.57)
at
Умножая (1.56) на Ф*, (1.57) на -Ф и складывая, получим
д 1
г -= ---------(фу2Ф* - Ф*У2Ф)
dt 2гаv J
или
о
Ф*Ф = -^гг;(ФУФ* - Ф*УФ). (1.58)
C/t 2тть
Уравнение непрерывности (1.58) и позволяет интерпретировать величину как
плотность вероятности, поскольку
> О , J Ф*Фсг3г = const .
Но уравнение Шредингера явно приближенное, поскольку не является
релятивистски инвариантным. Уравнение же (1.54) релятивистски
инвариантно. Перепишем его в виде
g-V2/ = 0 (1.59)
и попытаемся из / сконструировать нечто, удовлетворяющее уравнению
непрерывности типа (1.58). Будем считать / комплексным, хотя реальное
электромагнитное поле вещественно. Поступим аналогично предыдущему:
_ V2/* = о, (1.60)
_ f&r_ =<L(r<!L- fWL\ =
1 dt2 1 dt2 dt У dt 1 dt J
= div(/*V/ - /V/*). (1.61)
28
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Мы видим, что, вообще говоря, есть величина, интеграл от которой
сохраняется, т. е. можно попытаться интерпретировать как плотность
вероятности
df df*
Из (1.62) непосредственно следует, что / должна быть комплексной, иначе
выражение обратится в нуль, т. е. отождествление / с полем невозможно.
В отличие от обычной квантовой механики, в p(r, t) входят производные,
это следствие того, что (1.59) - уравнение второго порядка по времени, и
для однозначного определения волновой функции нужно в начальный момент
задать и функцию, и ее производную. Ситуация здесь такая же как с
электромагнитным потенциалом в классической механике: А удовлетворяет
уравнению второго порядка, однако измерение электрического Е и магнитного
поля Н в один момент времени позволяет фиксировать и А, и его производную
А. В этом еще ничего плохого нет.
Хуже обстоит дело с тем, что р(г,?), определенная в (1.62), может
принимать отрицательные значения. Чтобы обойти эту трудность, попробуем
выбрать из решений уравнения (1.59) такие, чтобы для них p(r, t) была
положительна. Для этой цели рассмотрим, какие вообще решения имеет
(1.59).
Будем искать решение в виде ряда Фурье:
f(x) = Y,e-ikxf(k) , (1.63)
к
где кх = кохо - к\Х\ - к^х? - кзхз; ко, fci, &2, кз - четыре независимых
числа. Тогда
= ?(-fc>-ifei/(*o = о, (1.64)
к
где А:2 = к^к^ = fcg - к\ - к\ - fc|, как мы условились. Очевидно, что
решением (1.64) является
к0 = ±|к| . (1.65)
то есть имеется два решения. Общее решение можно написать так (ниже под
fco будем понимать положительный корень (1.65):
f(x) = /+(я) +/_(х),
(1.66)
1.3. Электромагнитное поле
29
где
f+(x)=Yje-t{koX°-^)f(k) (1.67)
к
- так называемое положительно-частотное решение,
/_(ж) = ^е~г(~кохо~кг) f(k) =
к
= J2et(koX °~k'r)/(fc') (1.68)
к'
- отрицательно-частотное решение. Итак, в отличие от решения
уравнения Шредингера, мы получили два комплексных решения с разными
частотами.
В качестве волновой функции выберем Ф = /+ (по аналогии с
нерелятивистским случаем, где мы выбирали е~гШ). Тогда, если положить
dJ±_f 21±\ = г Л
dt J+ dt J J+ дГ
(!-69)
легко показать, что интеграл от этой величины сохраняется и положителен.
Действительно,
[ pd3r = $3/(fc)/*(jfe')i /[eikx(-ik'o)e~ik'х - ik(,e~ik'xeikx]d3r =
J k,k' ^
= (2irfJ2f(k)f*(k)2k0, (1.70)
k
т. e., если ко = |k|, это выражение положительно. Соответственно, для
отрицательно-частотного решения выражение (1.70) имело бы другой знак.
Теперь возникает вопрос, можно ли функции р(х) придать смысл локальной
