Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
^~j4V(p' ~ Pi)Go(p')V(p2-p')G0(p2) + ¦¦¦
Подставляя это выражение в (1.40), для первого члена разложения получим
>5р2,р1 = -г(2п)2д(Р1 -р2) Jф1ое*^-4')(р2/2т-^)Со(р,рю) =
= -г(2тг)2<5(Р1 - р2) [ Ф°------_е-(р2/2пг-Р0) =
J р2/2т - ро - гг
= (2тт)35(р1 - р2), (1.41)
т. е. рассеяния в этом приближении нет. При выводе (1.41) мы использовали
явный вид (1.28) для функции Грина Go(p,Po) в силу того, что г > 0,
замкнули контур вниз, для интеграла в результате получили значение 2т.
Все остальные члены разложения G(pi,p2) содержат по краям свободные
функции Грина, так что можно написать
G{pi,p2) = (2ir)46(pi -p2)Ga{pi) + G0(pi)T(p1,p2)G0{p2), (1-42)
где T(pi,p2) содержит все внутренние линии и интегрирования по
промежуточным импульсам.
Вычислим вклад в интеграл (1.40) от второго члена (1.42). При t -> оо
экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении быстро осциллирует
и, если бы подынтегральная функция была гладкой, интеграл обратился бы в
нуль. Однако она содержит полюсные множители
Go(Pl)Go(p2) = , 2 , ----------. w 2/0----------ГТ-
(pf/2то - р10 - гг) (ру2т - р20 - гг)
1.2. Как вычислять наблюдаемые величины
23
Функция T(pi,p2) является более гладкой, поскольку содержит
интегрирования типа
[
J р/2/2m-p'Q'
Поэтому интеграл можно вычислить по вычетам. Окончательно для Sp2?Pl
получаем
SP2,P1 = (27г)3<5(р2 - Pi) + (2тг)4гТ(р1,р2)- (1-43)
Таким образом, T(pi,p2) является амплитудой рассеяния, и для ее
вычисления нужно поступать следующим образом:
1. выписать интересующие нас графики
Pi Р' Р2
Р\ Р2 Р\ Р2 Р\ р Р2
----------- + --------•------- + -----------^---•-------
2. написать соответствующую функцию Грина по полученным нами правилам:
0(П,И) = %, -кООоЫСИ1 + (р|/2т-2,(р?/2т-й.);
3. выбросить полюсные множители;
4. положить рю = Pi/2га, Р20 = Р2/2ш для всех частиц, относящихся к
внешним линиям.
1.2.2 Связанные состояния
Покажем, что полюса амплитуды рассеяния определяют энергии связанных
состояний. Согласно обычной квантовой механике амплитуда рассеяния есть
9 777 г ,
/ = - - / e~ip rV(r)VE(r)d3r, (1.44)
где р' - импульс частицы в конечном состоянии, а Ф#(г) - точная волновая
функция - решение стационарного уравнения Шредингера с энергией Е =
р/2/2га.
24 Глава 1. Частицы и их взаимодействие...
Для функции Грина мы написали выражение:
G(r2,i2;ri,ii) = 9(т) ^ Фп(г2, ?2)Ф*(г15 h).
П
Рассмотрим функцию Грина с определенной энергией:
<3в(г1,г2) = J G(r2,r1,T)elETdT =
пОО
= ^фп(г2)ф;(г1)у0 е*Е~Е^ = г п яп п
Эта функция удовлетворяет уравнению
(Я - E)Ge(ri, г2) = -(5(ri - г2). (1.46)
г
Из (1.45) непосредственно видно, что Ge(гъг2) имеет полюса в связанных
состояниях. При помощи Ge(ri, гг) можно сконструировать точное решение
стационарного уравнения Шредингера, а именно:
Фв(г) = eipr + (-г) J GE(r,r')eipr'V(r')d3r'.
Действительно,
(Я - Е)Ч*е = V(r)eipr - V(r)eipr = 0.
Тогда
j. = _2ш Г ^4vy^d3r+
47Г J
+ ^г J e-ip'rV(r)GE(r,r,)eipr'V(r,)d3rd3r' =
-/в + ^Е^ (147)
П
Здесь q = р-р'•> /в - амплитуда рассеяния в борновском приближении,
fnp = J e~iprV(r)tyn(r)d3r. (1.48)
Из (1.47) следует, что связанным состояниям действительно соответствуют
полюса амплитуды рассеяния.
1.3. Электромагнитное поле
25
1.3 Электромагнитное поле
В этом параграфе мы рассмотрим квантовую механику фотона. Это необходимо
делать с учетом того, что фотон - объект релятивистский. Напомним, что
при классическом описании мы вводим 4-тензор электромагнитного поля
F^v{x) (здесь и далее х обозначает 4-вектор, х = (х, t)), компонентами
которого являются напряженности электрического и магнитного полей Е, Н.
Условимся всевозможные релятивистские инварианты писать в
виде
= х0уо ~ xiyi - Х2У2 ~ хзУз,
т. е. не будем различать верхние и нижние индексы, а будем помнить такое
правило суммирования по повторяющимся греческим значкам. Иногда нам
понадобится также метрический тензор д^и:
9оо = 1,5и = 522 = 5зз = -1; = 0, если /л ± v.
Будем пользоваться системой единиц Хэвисайда, в которой h = = с = 1, а
единица заряда определяется следующим образом:
е2/47гhe = a ~ 1/137 ; хэвисайдов заряд е2 = 4тга ~ 4тг/137.
При таком выборе системы единиц уравнения Максвелла для х) запишутся так:
|'*=ш, (1-49)
Г..Л Я/Л..
= 0. (1.50)
dFjiv . dFuх . dFXll
dx\ dxц dx
Это релятивистски инвариантные классические уравнения, описывающие
электромагнитное поле. Обычно вводятся потенциалы А^{рс):
= 51л
дх" дх" • 1 }
При этом уравнение (1.50) выполняется автоматически. Однако выбор
потенциалов неоднозначен и на них можно наложить одно дополнительное
условие. Мы выберем его в виде
дА
м = 0 (условие Лоренца). (1.52)
(УХц
26
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Тогда из (1.49) получим следующее уравнение для потенциалов:
^Мх) = ^г=зЛх)- (1-53)
Рассмотрим волновое уравнение
? /(ж) = 0 . (1.54)
Это уравнение описывает распространение волны (в частности,
электромагнитной) в пустом пространстве.
Попытаемся описать свободное электромагнитное поле квантовомеханически.
