Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Теперь покажем, что полученная таким образом полная функция
Грина
оо
G(r2,t2-,r1,t1) = ?Gn(r2,?2;ri,?i) (1.18)
71=0
удовлетворяет правильному уравнению. Если сопоставить полной функции
Грина жирную линию, (1.18) можно записать графически так:
G = Go + Go -iV Go + _ _
Tl,ti Г2,t2 Ti,ti Г2,t2 Ti,ti r2,t2
Go +G -iV Go
ri,?i r2,t2 ri,ti r,t r2,t2
(1.19)
Поясним, как мы это получили. Все графики, начиная со второго, имеют
следующую структуру:
-iV Go -iV Go -iV G0
• + • • _|_ • • _|_. r',t' r2, t2 r',t' r2,t2
Все они кончаются графиком
-jV_____________________Go
r' ,t' r 2,t2
Если этот элемент "вынести за скобку", то сумма в скобках даст снова
полную функцию Грина:
G
Этой "операции" и соответствует (1.19). Соотношение (1.19) есть не что
иное, как графическое уравнение для функции Грина. Ему соответству-
1.1. Функция распространения
15
ет интегральное уравнение:
G(r2,t2;r1,t1) = G0(r2,t2-,ri,t1)+
+ J ??0(г2, t!)[-iV(r', t'; ri,ti)d3r'dt!. (1-20)
Покажем, что это уравнение эквивалентно (1.17). Подействуем на функцию G
(1.20) оператором Шредингера для свободного движения:
Перенеся второе слагаемое в левую часть равенства, получим в точности
(1.17). Функция G определяется однозначно как решение неоднородного
дифференциального уравнения (1.17) с начальным условием G(r2, ?2; гъ ti)
- 0 при t2 < t\, или, что то же самое, как решение интегрального
уравнения (1.20). Отметим, что решение интегрального уравнения,
полученное итерациями по потенциалу, автоматически удовлетворяет
начальному условию - точная функция Грина G равна нулю при t2 < ti,
потому что свободная функция Go обладает этим свойством. Тем самым мы
показали, что функция G, построенная по рецепту (1.18), действительно
является функцией Грина уравнения Шредингера для частицы во внешнем поле,
а это в силу (1.15) означает, что функция К (1.14) есть функция
распространения частицы во внешнем поле.
Введенные нами графики фактически являются диаграммами Фейнмана для
рассеяния частицы во внешнем поле в нерелятивистском случае. Отметим, в
полученных нами выражениях время и пространственные координаты входят
абсолютно равноправно и в аргументах функций Грина, и в последовательных
интегралах, определяющих Gn. Именно благодаря этому обстоятельству
подход, основанный на функциях Грина, становится особенно удобным, когда
мы переходим к релятивистской теории.
Аналогично можно построить функцию Грина для двух и большего числа
частиц. Пусть, например, имеются две свободные частицы, их движение
опишем графиком
= iS(r2 - ri)5(t2 - h) + V(r2,t2)G(r2,t2;r1,t1).
r2,t2
ri,ti
(1.21)
16 Глава 1. Частицы и их взаимодействие...
Функция Грина в этом случае будет просто произведением одночастичных
функций Грина, поскольку частицы движутся независимо.
Go(r,2,r,1,t'2,t'1-,r2,r1,t2,t1) = Go(ri-ri,ti-ti)Go(r2-r2,^2-t2)- (1-22)
Простейшим графиком, учитывающим взаимодействие между двумя частицами,
будет
ri1ti___________XI, П_________г 1,11
Г2, t2 Х2,Т2 r'2,t'2 (1-23)
Пунктирная линия соответствует однократному взаимодействию между
частицами. По аналогии со случаем одной частицы сопоставим ей выражение
[-iV(x.2 - xi,T2 - ti)], где У - потенциал взаимодействия. Для G\
получаем
Gi = J G0(r\,t'1;x1,T1)[-iV(x2-хг\т2 - Ti)]G0(xi,T1;r1,ti) х
х Go(r'2,t2; х2, t2)Go(x2, т2; r2, t2)d3x\d3x2dT\dT2. (1-24)
В отличие от одной частицы во внешнем поле, в данном случае потенциал
описывает взаимодействие двух частиц и поэтому в (1.24) учитывается
только один раз. Строгое доказательство (1.24) проведем позже. В
нерелятивистской теории взаимодействие распространяется мгновенно, т. е.
потенциал зависит от времени как V(хг - xi, ?2 - т\) = 5(т2 - т\).
Вернемся к частице во внешнем поле. Обычно удобно работать в импульсном
представлении. Переход к импульсному представлению проведем так, чтобы
сохранить формальную симметрию между пространственными и временными
переменными, в дальнейшем это пригодится при обобщении теории на
релятивистский случай.
Функция Грина свободной частицы имеет вид (см. (1.15)):
Go(r,t) = J
(1.25)
1.1. Функция распространения
17
Здесь t иг входят не симметрично. Однако (1.25) можно переписать так:
GoM) = / 104Go{p'Po)eipr~iPot ' (L26)
В выражении (1.26) как г и ?, так и р, ро входят равноправно. Функция
Грина в импульсном представлении Go(p,Po) имеет вид:
Go(p,po) = -Y~- ----------- • (1-27)
p^/2m - ро - is где е - произвольное малое положительное число. Итак:
G0(r,t)= [ f pdf ° - -reipr-ipot. (1.28)
J (2тг)4г p2/2m - po - is
Теперь покажем, что (1.28) эквивалентно (1.25). Проинтегрируем по ро в
(1.28). Подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке
Р2
= 2т ~ г?'
т. е. в нижней полуплоскости. Если бы е = 0, то полюс находился бы на
вещественной оси и интеграл не имел бы смысла.
При t < 0 контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости,
тогда, поскольку внутри контура С\ не содержится полюсов,
18
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
