Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(2.42)
щ | 0 [ 0
о \щ\ о
42
такое представление называется приводимым. Если этого сделать нельзя, представление будет неприводимым.
Классификация электронных состояний в кристалле производится путем выделения в первой зоне Бриллюэна особых точек и линий, которым соответствуют группы неприводимых представлений. В теории твердого тела общеприняты обозначения этих групп, предложенные в работе [54]. Так, центр зоны Бриллюэна (к = 0) обозначается буквой Г (рис. 11). При всех операциях симметрии эта точка преобразуется в самое себя. Для обозначения каждой операции применяется система индексов Гь Гг, Гз, Г12, Г'12, Особые линии в направлении [100], [111] и [110] обозначаются через А, А, 2, а точки их пересечения с плоскостями, ограничивающими зону Бриллюэна,— через X, R, М. Эти линии инвариантны по отношению к операциям отражения [10, 55]. На рис. 11 показаны и другие точки и линии симметрии. Набор волновых функций, соответствующих всем элементам группы симметрии обратной решетки, и определяет совокупность состояний электрона в кристалле.
Эффективная масса. Как было показано при рассмотрении модели Кронига и Пенни, энергия электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, ЕФр2/2т. Однако для практических целей удобно сохранить зависимость энергии электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия, вызванные влиянием периодического поля, включить в массу электрона. Тогда в формуле Е=р2/2т вместо т появляется некоторая функция энергии т*, называемая эффективной массой.
В одномерном случае величину т* можно рассчитать из разложения энергии в ряд Тейлора около экстремальных
* , л
точек kext = ± п-
а
E(k) = E0 + ^(k- kext) +±^L(k- kextf + . .. (2.43)
Так как в точках k — kext энергия имеет максимум или минимум (см. рис. 9), то первая производная равна нулю. Ограничиваясь вторым приближением, из (2.43) находим
?(*)-?0 = -ig(ft_*eact)* =
= -L- h* (* ¦- kextf = ~(Р- Pextf. (2.44) 2т* 2т*
43
Следовательно, роль эффективной массы играет величина
(2'45)
В низших точках разрешенных зон E(k) имеет минимумы, а вторая производная от Е по k больше нуля. Поэтому на дне зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон отрицательна, поскольку d2E/dk2<0. В некоторой точке в центре зоны m*-v0. Очевидно, разложение энергии в степенной ряд
(2.43) и формула (2.44) справедливы только вблизи экстремальных точек. Понятие эффективной массы имеет более широкие границы применимости и может быть введено исходя из принципа соответствия.
Известно, что средние квантовомеханические величины удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие им классические величины. Так, волновые пакеты, составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекториям классических частиц [44]. Поэтому уравнению Ньютона
v = — F=— р (2.46)
т т
должен соответствовать квантовомеханический аналог.
Средняя скорость электрона равна групповой скорости волнового пакета v„ [25]. Для одномерного движения va = — —
а dk
= b~1dE/dk, а в общем случае
1 а сп \ fc-i/d-E , дЕ дЕ \ .
,, = Т grad,? (к) - » (- е, + - е„ + _ е, ), (2.47)
где ех, е,у, ez — единичные векторы, направленные вдоль осей х, У, г. ‘ v
Так как энергия зависит от времени только через волновой вектор к, то ускорение vg можно представить в виде
= Ь-1 J- (gradftf) =
= h"1 (д^^К , d*E dky + dm dkz
\dk2x dt dkxdky dt dkxdkz dt
. dm dkx dm dk dm dkzU
dkydkx dt dk2y dt dkydkz dt 1 v
В правой части (2.48) стоит произведение тензора
т*
д*Е д2Е дгЕ
dki dkxdkv dkxdk
1 д2Е дгЕ д2Е
h2 dkydkx dk2y dkydk
д2Е д*Е д*Е
dk2dkx dkzdky dkl
следовательно
(2.49)
ггг
р.
(2.48а)
что по форме совпадает с классической формулой (2.46).
Таким образом, в квантовой механике кристаллов величиной, обратной эффективной массе, является тензор второго ранга с компонентами d2E/dkidkj. Качественно эффективную массу можно исследовать, рассматривая кривизну графика Е как функции к. Анизотропные свойства т.* становятся наглядными, если построить изоэнергетические поверхности в к-про-странстве, удовлетворяющие уравнению ?(&)=const. Если т* не зависит от направления к, а определяется лишь величиной вектора, то изоэнергетические поверхности будут сферами, а тензор (2.49) перейдет в скалярную величину —
=d2E/dkz. Эллипсоидальным изоэнергетическим поверхностям соответствует тензор обратной эффективной массы диагонального вида. В этом случае вблизи экстремальных точек зависимость энергии от имеет вид
Е = Еп
т
2 тх
Щ
2 ти
№?г 2 ml
(2.50)
lX JJUty
где пц=д2Е/дк1.
Расчеты показывают, что во многих полупроводниках, в том числе в кремнии и германии, изоэнергетические поверхности не сферичны, а величина т* носит тензорный характер [56].
Если эффективная масса выражается тензором, то в формулу для плотности состояний (2.21) необходимо вместо т3/2 подставить выражение (тхтутг )1/2. Однако вид этой формулы можно сохранить, если под т* понимать эффективную массу плотности состояний т* — {гпхгпутг )1/3 [38].
Дырки. Как отмечалось выше, каждому положительному направлению волнового вектора к в разрешенной зоне соот-
