Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения постоянных коэффициентов в (2.26) воспользуемся непрерывностью волновой функции и ее производной во всем пространстве, т. е. наложим иа функции условия
(0) = % (0). Ь (0) = ^ (0),
(2.27)
Непрерывность производной волновой функции следует из анализа уравнения Шредингера [44].
Подставляя (2.26) в (2.27), находим
А + В — С — D = 0,
IхА — i%B — КС 7JD — 0,
В
• е"' -hC — e“p+w'D = 0,
ixe
Ыа'
те
В
е'ф—r.h ^
\ ’keUt+kbD =-- 0.
(2.28)
Система однородных уравнений (2.28) имеет отличные от нуля решения только в том случае, если ее определитель равен нулю
А =
1 1 — 1 — 1
i-л —гх —% X
еШ' е~1Уа е—t<f+kb
ixelKa — iy,e~iKa' _leiv-u
3. Зак, 312
= 0.
(2.29)
33
Раскрыв его, приходим к уравнению
——sin т sh kb -f- cos т ch kb = costp, (2.30) 2xA
связывающему параметры к и х, а следовательно, и энергию с параметром ф.
В случае, когда ширина потенциального барьера &-*- 0, а проницаемость барьера постоянна (V0b = const), уравнение (2.30) значительно упрощается. Действительно, если Ь-*- 0, то kb-> 0 как ]/Т, a shA6->-A6, chA,6->l, а' -* а. Учитывая (2.25), из (2.30)
где /С = mbV0a'lh.2; 6 = ф/а'.
Если высота потенциального барьера Уо->0 и К-+0, то из уравнения (2.31) следует cos ха'=cos ка', поэтому х=& и энергия Е могут изменяться непрерывно от нуля до бесконечности. Это случай движения свободных электронов. При К->оо, sinxa=0, k и Е принимают дискретный ряд значений, как в модели Зоммерфельда.
Для промежуточных значений К трансцендентное уравнение (2.31) можно решить графически. На рис. 8 приведен график левой части уравнения (2.31), обозначенной через /(ха'). Две горизонтальные линии, отстоящие от оси х на расстоянии ±1, показывают границы изменения cos ka’. Очевидно, уравнение (2.3 П не имеет решения для тех значений ха, для которых |/(ха')|>1. Решения возможны только при условии, что |/(ха')|^ 1.
Как видно из рисунка, совокупность возможных значений образует зоны, чередующиеся с зонами, для которых отсутст-
получим
ха'
(2.31)
ffxa'J
к
а
-1
Рис. 8. Зоны разрешенных (заштрихованы) значений ш'
34
вуют решения уравнения Шредингера. Поскольку первое слагаемое в (2.31) содержит в знаменателе ха', ширина разрешенных зон растет с увеличением ка', а запрещенные зоны сужаются и в пределе вовсе исчезают. С ростом энергии вновь осуществляется переход к свободному движению электронов.
В пределах разрешенных зон энергия электрона может изменяться непрерывно, поскольку cos ka' принимает любое значение от —1 до +1. Однако это справедливо только для бесконечно протяженного кристалла. Реальные кристаллы всегда ограничены, поэтому волновые функции должны удовлетворять условию периодичности Борна — Кармана.
Как уже отмечалось, из требования периодичности квадрата модуля волновой функции следует
ij; (х) = е(фг|) (х — а) = е1ка г|з (х — а).
Умножив это равенство на ехр(—ikx), находим
e-ikxy(x) = e-ik{x-a)q (х-а).
Это означает, что произведение
и(х) = e~ikxq(x) (2.32)
является периодической функцией от л; с периодом а. Тогда волновую функцию удобно представить в виде
y(x) = eikxu{x). (2.33)
Налагая на (2.33) условие периодичности и учитывая, что
и (х) = и (х + Na), получим exp (ikL) = 1, а
_ 2я п _ 2я п
L a N’
где п — целое число.
Следовательно, параметр k принимает дискретный ряд
значений, причем в каждой зоне имеется N состояний (п = 0 и n = N соответствует одна волновая функция).
Зависящую от времени волновую функцию г|з (х, t) на основании (2.33) представим в виде
г|ф, 0 = u(x)eHkx~at). (2.34)
Условно ее можно рассматривать как волну, амплитуда которой не постоянна, а изменяется периодически от х с периодом а. Параметр k играет в ней такую же роль, как волновой вектор в уравнении плоской волны, описывающей движение сво-
3*
35
Рис. 9. Зависимость энергии от квазиимпульса электрона, движущегося
в периодическом поле
бодных электронов. Поэтому по аналогии с импульсом свободного электрона величина
p = hk (2.35)
называется квазиимпульсом электрона, движущегося в периодическом поле кристалла.
В случае движения свободных электронов их энергия однозначно связана с импульсом Е = р2/2т. Для электронов в кристалле это соотношение теряет силу. Качественно новые черты связи между квазиимпульсом и энергией электрона обнаруживаются уже и в модели Кронига и Пенни.
На рис. 9 приведен график Е как функции k, рассчитанный с помощью уравнения (2.31) по формуле Е = й2к2/2т. Пунктирная кривая (парабола) дает зависимость Е от k для свободного электрона. Для электронов, движущихся в периодическом поле кристалла, почти параболическая зависимость Е от k наблюдается только для k, удаленных от границ зон Бриллюэна (утолщенные линии на рис. 9). На границах зон утолщенная кривая терпит разрыв, т. е. имеются зоны запрещенных энергий, й зависимость Е от k становится более сложной. Энергия является, во-первых, неоднозначной, а во-вторых, периодической функцией квазиимпульса с периодом постоянной обратной решетки.
Обычно Е рассматривают в одном периоде для интервала изменений k от —п/а до +я/а. Этот интервал называется первой зоной Бриллюэна. Вторую зону Бриллюэна образуют два отрезка: —2it/a^k^—я/а и n/a^k^2n/a. Если их све-
