Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибковский В.П. -> "Теория поглощения и испускания света в полупроводниках" -> 12

Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.

Грибковский В.П. Теория поглощения и испускания света в полупроводниках — М.: Наука и техника , 1975. — 464 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapoglosheniyaiispuskaniya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 176 >> Следующая

Из сравнения (2.15) с (2.9) вытекает, что в бесконечном кристалле уровни расположены в два раза реже, чем в ограниченном. Зато каждому уровню соответствует две волны, бегущие в противоположных направлениях и характеризующиеся равными по величине, но разными по знаку величинами ±kxn. Из последней формулы следует, что kxn имеет физический смысл волнового числа электрона. Длина волны, X связана с k равенством
¦фп (х, t) = 2iA sin (nnxxlL) etExnt/h
(2.12)
1)3 (x) = -ф (x + L)
(2.13)
i]3 (x) = AeikxX,
(2-14)
'xn — T ^X’
(2.15)
(2.16)
(2.17)
k
30
Решения, аналогичные (2.16), получаются и для функций, зависящих от у и г, а волновая функция, описывающая трехмерное движение имеет вид
i|>n(x, у, z, t) = Ле1'<кпг-(ап<), (2.18)
где к = kxtx -j- kvty + fezez, ег — единичные векторы, направлен-
ные вдоль осей х, у, г. Энергия, соответствующая состоянию п, выражается суммой
С Й2 ,,2 , .2 , < 2ч Ь2^2 /2я\3Ь2 2
" “ 2т "Г в + 2) 7 2m _ ( L ] 2m" ' ( }
Здесь /г2 выступает как квадрат вектора с компонентами пх, пу,
пг, так что п2 = п2х + пу + «2-
Очевидно, заданному значению энергии Еп будет соответствовать, как правило, несколько волновых функций, поскольку значение м2 может реализовываться при различных комбинациях значений пх, nv, tiz, а каждой комбинации этих чисел соответствует своя волновая функция. Так, п2= 1 может относиться к волнам, распространяющимся вдоль оси х (пх= 1, ny = nz = 0), вдоль оси у (пх= 1, ny = nz = 0) или вдоль оси z (пх = пу—0, nz— 1). Для больших п2 степень вырождения, естественно, возрастает.
Найдем аналитическое выражение для числа состояний, которым соответствует энергия электронов в кристалле от Е до E-\-dE или частота от со до со + Ло. Поскольку координаты волнового вектора kx, ky, kz принимают только дискретный ряд значений, то все k-пространство можно представить составленным из кубиков со стороной 2я/L и объемом (2я/L)3. Число кубиков равно числу возможных комбинаций kx, kv, kz. Поэтому число состояний со значением волнового вектора от k до k-\-dk равно удвоенному отношению объема шарового слоя в ^-пространстве к объему одного кубика:
2-—k4k = — Vk2l —) 1dE = — Vtf(~\ * da, (2.20)
(2л/L)3 я \dk} я2 \dk }
где V=L3—объем кристалла. Коэффициент 2 вводится в (2.20) для учета спинового вырождения электронов.
Так как, согласно (2.19),
dE = = _2h_
dk 2m У 2m
из (2.20) находим g(E) — число состояний в расчете на единич-
ный интервал энергии
1 / 9/И \ 3/2 _
ve¦ <2-2,)
31
V
Рис. 7. Модель Кронига и Пенни
С увеличением энергии оно растет как корень квадратный из Е.
_1__1________|_J_______Как известно, производная
-8 0 а’ а х da/dk равна групповой скорос-
ти волнового пакета. Поэтому плотность состояний в расчете на единичный интервал частот ?(со) на основании (2.20) и (2.17) можно представить в виде
= , (2-22) nWVg
где у = соЯ,/2л — фазовая скорость бегущей волны (2.16).
Величина (2.22) равна также плотности состояний электромагнитного поля, поскольку каждому значению волнового вектора поля также соответствуют две волны с разным направлением вектора поляризации [43].
Выражение для плотности состояний (2.21), полученное с помощью простейшей модели вещества, широко используется в теории твердого тела. Оказывается, если заменить в нем т на эффективную массу электрона т*, то (2.21) будет определять плотность состояний в реальном кристалле.
Модель Кронига и Пенни. Энергетические зоны. Одномерная модель Кронига и Пенни — это бесконечная цепочка потенциальных ям прямоугольной формы (рис. 1). Движение электронов в такой системе характеризуется качественно новым и принципиально важным свойством: спектр разрешенных значений энергий электрона состоит не из отдельных уровней, как в изолированных атомах и в модели Зоммер-фельда, а из широких зон. Поскольку зонная структура энергетического спектра является фундаментальным и неотъемлемым свойством твердого тела, модель Кронига и Пейни заслуживает детального рассмотрения. Уравнение Шредингера для этой модели решается точно, что позволяет выяснить физический смысл причин, приводящих к образованию зон.
Обозначим ширину потенциальной ямы (рис. 7) через а', а высоту и ширину барьера через Vo и b соответственно. Очевидно, рассматриваемая цепочка потенциальных ям будет периодической с периодом а = а'-\-Ь. Уравнение (2.5), описывающее движение электрона в такой системе, принимает вид
у2,ф (х) — А,2,ф (х) — 0 при — Ь^х-^ 0 (2.23)
(х) -г и2г|) = 0 при 0 .sC х ^ а’, (2.24)
32
где введены обозначения
к2 = 2т (V0 — ?)/h2, х2 = 2m?/h2.
(2.25)
Уравнению (2.23) удовлетворяют функции е , а (2.24)—функции е±1У'х. Поэтому волновые функции для трех областей цепочки (рис. 7) равны
г|зг(х) = Се%х + De~kx, — Ь < х< О -ф2 {х) = АеЫх + Вё~Ых, 0 < х < а’
-ф3 (х) = С/л- г П{е~Хх = ei(f[CeX(x~a) -4- De~~x(x~a)] = е фор1 (х — а), а' < х < а
(2.26)
Функция г|зз(л;) выражена через грi (л:—-а) на том основании, что вследствие периодичности системы квадраты модулей функций для идентичных областей должны быть равны |-ф (х) |2 = |гр('х—а)|2. Это и означает, что сами функции могут отличаться лишь фазовым множителем exp(tcp).
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed