Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
36
сти вместе соответствующими концами, то график E(k) будет таким же, как и в первой зоне. Третья зона состоит из отрезков —Зп/a^Lk^.—2п/а, 2n/a^.k^.3n/a и т. д.
Таким образом, на основании исследования модели Крони-га и Пенни можно построить качественно правильную картину энергетического спектра кристалла. Внутренние электроны атомов, мало подверженные действию внешних полей, занимают узкие атомные уровни, а валентные электроны располагаются в широких зонах (рис. 10), состоящих из N близко расположенных уровней. Зоны, полностью занятые валентными электронами в соответствии с принципом Паули, называются валентными, а пустые или частично заполненные — зонами проводимости. В теории часто ограничиваются рассмотрением только самой высокой валентной зоны и самой низкой зоны проводимости, поскольку многие физические процессы связаны с движением электронов исключительно в этих зонах.
Процесс возникновения широких энергетических зон в кристаллах можно проследить из следующего мысленного эксперимента. Пусть имеется N атомов, которые расположены в пространстве так же, как в кристалле, но на значительно больших расстояниях друг от друга. Орбиты валентных электронов не возмущены. Тогда энергетический спектр системы N
Рис. 10. Энергетический спектр кристалла (а) и его образование из дискретных уровней атомов при уменьшении расстояния между узлами решетки (6)
37
частйц как целого будет совпадать со спектром одного атома, только каждый простой уровень изолированного атома будет JV-кратно вырожденным. Начнем теперь уменьшать расстояние между атомами. Валентные электроны соседних атомов станут взаимодействовать между собой. Из квантовой механики известно, что такое взаимодействие снимает вырождение уровней. Уровни будут расширяться и расщепляться все больше и больше по мере сокращения расстояния между атомами. Это и приводит к появлению зон (рис. 10).
Характерно, что из N состояний каждой зоны N/2 состояниям соответствуют положительные значения k. Столько же состояний характеризуются отрицательным значением k. Если все состояния заполнены, то числа электронов, движущихся во взаимно противоположных состояниях, равны, а электрический ток отсутствует. Электроны полностью заполненных зон в переносе зарядов не участвуют.
Функции Блоха. Рассмотрим теперь общие свойства волновых функций, описывающих движение электрона в трехмерном кристалле как идеально периодической структуре. Пусть решено уравнение Шредингера и найдена волновая функция ¦ф(х, г/, г) для некоторой точки кристалла. Постоянные решетки в трех направлениях обозначим через а.\, а2 и а3. Очевидно, точки, координаты которых отличаются на целое число постоянных решетки тщ, будут идентичными в кристалле. Поэтому квадраты модулей волновых функций в этих точках равны между собой:
№(*> У> г)? = № (х + У 4- z + rc3a3)|2.
Следовательно, функции отличаются только на фазовый множитель
^(х + п^, у + п„а2, z + п3а3) = elikin'ai+k‘n‘ai+k’n,a,\\,(х, у, г),
где ki— параметры, аналогичные k в (2.33).
Вводя радиус-вектор точки г и рассматривая ki как координаты вектора к, последнее равенство можно представить в виде
^ (г + *n) = (г)- (2-36)
Здесь учтено также, что — координаты вектора трансляции прямой решетки (см. (1.1)).
Если умножить правую и левую части (2.36) exp (—tkr— —z'ka„), то легко убедиться, что произведение
и (г) = ч|) (г) е~1кт
38
будет периодической функцией с периодами по осям координат, равными а\, ач и аз. Отсюда приходим к общему выражению для волновой функции
¦ф(г) = u(r)eikT, (2.37)
называемой функцией Блоха [45, 46], причем и (г) обладает
трансляционной симметрией
и (г) = и (г + а„). (2.38)
Вектор к в функции Блоха является аналогом волнового
вектора свободного электрона. В ограниченном кристалле с линейными размерами LI; L% и L3 координаты к принимают дискретный ряд значений (см. (2.15))
kt = 2nnJLi.
Подставляя (2.37) в (2.5), приходим к уравнению для функции и(г)
у"и (г) + 2 iky и (г) — к 2ы (г) +
+ 2J?{E-V)u{ г) = 0. (2.39)
Ь2
Это уравнение часто используется для исследования общих свойств функций и (г). В частности, из него следует, что энергия электрона является симметричной функцией к. Действительно, заменим в (2.39) и (г) на комплексно-сопряженную функцию и* (г), а к на —к, что равносильно замене i на —г. Тогда получим комплексно-сопряженное уравнение для того же значения энергии. Следовательно, ?'(к)=?'(—к).
Одно из важнейших свойств блоховских функций — их периодичность в пространстве обратной решетки или в пространстве волнового вектора к. Этот вектор, входящий в фазовый множитель соотношения (2.36), определен неоднозначно. При любом другом векторе k=k-|-bg, где bg — произвольный вектор трансляции обратной решетки (1.2), фазовый множитель имеет то же самое значение:
exp(i?'an) = exp(ika;i + i\a.n) = exp(ikan),
поскольку (bgan) = 2л (gn) = 2ns, s — целое число.
Поэтому для волновых функций и энергий электрона справедливы равенства
¦фк+ья (Г) = % (Г), (2.40)
?(k + bg) = ?(k), (2.40а)
а векторы к' и к, отличающиеся на bg, называются эквивалентными. Для одномерного случая соотношение (2.40 а)
