Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
45
ветсгв^ет состояние с волновым вектором, равным —к. Поэтому если все состояния заняты, то всякое перемещение одного электрона компенсируется противоположным перемещением другого электрона. И несмотря на возможную большую скорость электронов, ток в полупроводнике отсутствует, даже если к нему приложено внешнее электрическое поле.
Иной результат получается, если в почти заполненной зоне имеются вакантные места, т. е. не все валентные связи обеспечены электронами. Тогда 'соседние электроны могут переходить на эти места, а само вакантное место как бы перемещается в пространстве. В энергетическом плане это соответствует переходу электронов с низких энергетических уровней на более высокие, а вакансий с высоких уровней на более низкие.
Вместо того чтобы рассматривать движение всей совокупности электронов почти заполненной зоны, более удобно и просто следить за движением вакантных мест, называемых дырками. В этом случае плотность тока равна [38]
i = 2jft = “eTr2[1 — Mk> а)Мк) =
ко ' ко
= — v (к) + ~ 2 8р (к> ст) V (к) = 4Г2 6р (к> аМк)> (2.51)
ко V ко V ко
где суммирование проводится по всем значениям волнового вектора в первой зоне Бриллюэна к и двум состояниям спина электрона ст= 1, 2. Символ 8р (к, ст) равен единице, если состояние свободно, и нулю, если оно занято; v(k) — скорость электрона;
V — объем кристалла. Сумма 2 v (к) равна нулю, поскольку она
кст
берется по всем состояниям зоны.
Согласно (2.51), ток частично заполненной зоны может быть представлен как ток положительно заряженных частиц-дырок. Заряд дырки положителен и равен по величине заряду электрона. Концентрация дырок обычно обозначается буквой р. Понятие дырок применимо при рассмотрении всех физических процессов в полупроводниках. Эффективная масса дырки т* равна эффективной массе электрона (2.49), взятой с обратным знаком. У потолка валентной зоны эффективная
*
масса электрона отрицательна, а тн>0.
Энергетические уровни примесей. Появление в кристаллической решетке чужеродных атомов приводит к точечным нарушениям периодичности потенциального поля. Если строго периодическую потенциальную энергию электрона в кристалле обозначить через Vo(r), то при наличии дефектов в решетке потенциал будет равен V(г) = 1/0 (г) + V" (г). Величина V' (г) отлична от нуля в некотором объеме и определяет изме-
46
нение потенциальной энергии электрона в окрестности дефекта.
Влияние примесей на энергетический спектр кристалла можно приближенно рассмотреть, если предположить, что V'(r) определяется чисто кулоновским взаимодействием электрона с точечным зарядом, т. е. V'(r)=—е2/ег, где е—¦ диэлектрическая проницаемость среды. Тогда уравнение Шредингера (2.5) может быть сведено к уравнению для атома водорода с массой электрона т* и зарядом е* = е/]/е [38]. Энергия связанных состояний электрона такой модели равна
Здесь п — главное квантовое число, т — масса электрона в вакууме. Так как при выводе этой формулы предполагалось, что дну зоны проводимости Есо соответствует энергия, равная кулю, то из (2.52) следует, что электрон вблизи примесных атомов обладает уровнями, лежащими в запрещенной зоне. Примеси, энергетический спектр которых соответствует
(2.52), называют водородоподобными. В полупроводниках е обычно имеет большое значение, порядка 10 и более, а т*<Ст, поэтому невозбужденное примесное состояние отстоит от дна зоны проводимости на сотые или тысячные доли электрон-вольта. Например, для GaAs е = 12,5; m*/m=0,072; Ei — 6 мэв. Такие уровни называют еще мелкими примесными уровнями. Если температура ТфО, то электроны сравнительно легко их покидают и переходят в зону проводимости.
Формула, аналогичная (2.52), получается и при рассмотрении движения дырок в кристалле, если энергию потолка валентной зоны Evо положить равной нулю и направить ось энергий сверху вниз. Тогда под т* следует понимать эффективную массу дырки trih. Обычно она больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, и, следовательно, акцепторные уровни по сравнению с донорными уровнями расположены более глубоко в запрещенной зоне. Так, для GaAs
* л
тн =0,5т, a .Ei = 43 мэв. Однако и это значение Е\ во много раз меньше ширины запрещенной зоны Eg= 1,5 эв, поэтому акцепторные уровни также относятся к мелким уровням.
Таким образом, при сравнительно небольшой концентрации примесей лишь в изолированных точках кристалла появляются дополнительные энергетические уровни (рис. 12, а). В отличие от разрешенных состояний основных зон, принадлежащих всему кристаллу, примесные состояния локализова-
Е
П
т* (е*)1 2h2n?
(2.52)
47
а
б
6
Рис. 12. Донорные и акцепторные локализованные уровни (а). Плотность состояний как функция энергии при слабом (б) и сильном (е), (г) легировании
ны в микроскопических объемах, линейные размеры которых незначительно превышают боровский радиус
Электроны, находящиеся на примесных уровнях, связаны с дефектом и не могут перемещаться по кристаллу.
Если же в кристалл вводится большое количество примесей, то это приводит к более значительным изменениям его энергетического спектра. Во-первых, в результате взаимодействия примесных атомов между собой соответствующие им уровни расширяются, смещаются и образуют примесные зоны, подобно тому как из резких уровней атомов, образующих кристалл, получаются основные энергетические зоны твердого тела [57].
