Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(4.53)
Щи + ?j + 1) - H
и +
*1 + 1
и =
aQ - Ixl
Для любой функции <р(и) е S (пространство основных быст-роубывающих
функций) имеем 139, 47, 95]:
(/> <Р) = 7rr"V(ei)> vei
-i/(",+i)
V'Cej) / <p(u) du = V''(0)e1 + о(е}) (Ej ¦* 0),
-5
"1 1
(4.54)
ei + 1
(<4 + 1)
2 + f(-ei ~ *)* Ф'Ф) = VC"1)-
lim (/, f) = 0, lim Ди, e.) = 0.
? -* +0 € -* +0 1 1
Таким образом, для критических режимов функции, входящие в формулу
(4.48) для напряжения, имеют вид при vQ = Mr,
Д(х, т) = Я(а0 - 1x1),
2 г 6
S(x, Т) = - 2 ^(т ~ 'V) _^10(X0i' Т) + ~4 ^n(X0i' Г)
/= 1
2 2
+ 2
(4.55)
Щ к-1 /=1
173
41 - rl 1 V + Л + Vfo'- l)(ri-*'1)
~ VTrf -----------------------------------;
лри V0 = 1 Д(х, r) =
= H(a0 - Ixl) + -f {Я(а0 + r - Ixl) - H[x + r,\aQ - lxl)j},
S0> T> = i 2 Я(т" 1х0/') /=l
+
V ) x0i
+ ~h 2 H(r ~ T) + ЛТ1 i= 1
2 2
+ )sA,*T)' (4-56)
^ *=i /=i
S23(x, r) = arctg
V(72 -
1)(t2 - j/V)
r + j/2x
Отметим, что результаты (4.55) и (4.56) могут быть получены
непосредственно при вычислении интегралов в (4.45) и (4.46).
К критическим режимам также можно отнести вариант1 неподвижной области
контакта а2(т) = aQ, v0 = 0. Эта задача
рассмотрена также в [182]. Здесь построим ее решение с помощью
предельного перехода при vQ -* +0 в формулах (4.48) и (4.49).
Из соотношений (4.47) найдем
Sk2(X, т) = а0к + auv0 + a2jv20 + ^ + 0("J) (vQ -* +0), J
%k = ln
r + Vr2 - v2tX2
Tf. Ixl
alk = -
лГ2 2 2
Vt -v.xz
2 1* 3 1*'
(4.57)
a, = ^ - 2(2,2 - 1) J- + 0(1), 32 = - i + ? + "(1),
174
<5iS12(x, г) - 4aQl , + 4an 2 + 2[2a21 (2ij
1)я011 +
4) 0
0
+ 4a, - 2(2rj1 - \)a + o(l) (v0
¦* +0),
^2^22^' ~ ^a02 3 ^al 2 2 + ^ a02 ^a22^ v +
+ 2j? a12 - 4a32 + o(l) (vQ ¦*
+0),
A(jc, r) = Я(а0 - Ixl).
Подставляя (4.57) в (4.47) и (4.48), окончательно для напряжений в
случае неподвижной области контакта получим
Уя 2
i=l
Н(т - lx0.l) X
X
2 2 t т "*<),• 4
arctg ------------h
/r2 2 чЗ/2 Л/"2 Г
(r ~ V 4 Л J_\ У*
:о/ 3?
4
VJ *.
Ог
/ 2 2 2 чЗ/2
4 (т
V
X3
<М
Я(т - t]\xQ.\
. (4.58)
Укажем еще один частный случай формул (4.48). Пусть "0 = 0, что
соответствует задаче о вертикальном внедрении в
полупространство с постоянной скоростью симметричного клина без среза.
Учитывая, что в этом варианте х01 = х и xQ2 = -х,
для функций, входящих в (4.48), найдем
2
А(*> т) = И(лк\ ~ !>У- 1*0 - я(т - ^г'о1х1)1,
V *=1
S(x, т) = -4 ^ Я(т ~ т) +
ЖП *=1
+ а4[^2(х, х)Н{\ - r,kvQ) + S*k3(x, r)H(n,v0 - 1)] }
, 2S*kl(x, с) = Sk?x, г) + Sk?-x, г) (/ = 0, 1,2, 3),
(4.59)
175
5*o(*'r) = °>
r +
t/i2-vI*2 tVi2 -1^1*1 +ri x2
Отметим, что функции Д(х, г) и S(x, г) в (4.59) и соответ венно
напряжения o^Q(x, т) в этом случае являются однородныи
функциями нулевой степени. Этот факт связан с автомодельность^ задачи о
внедрении в полупространство клина без среза. При наличии среза (aQ ^ 0)
автомодельность задачи отсутствуе
(функция Д(х, т) в (4.48) не является однородной).
Рассмотрим теперь вопрос об особенностях напряжен ст330(х, х). Из
формул (4.47) и (4.48) следует, что разрыв:
