Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(2-Л2
"О
о
д2 = -л2 =
2 2 ,
^O"1 д _ _ X r _ J_
3 ' 2 " ,2' C2 " v, •
"0
0
Тоща интегралы в (4.45) равны:
-1 + sign Xq. + H(v0 - 1) -4 [1 - Sign (t + V0.)]
л
6
Щ
~SlO(XOi' T) + ~4 Sn(X0i' T) +
+ 4 Vt)^l2^X0i' + H(V0
Mr,
/ \ S vffz -
0 % 0
d2 2 F0
= V0 TT Я(^0 " !)[1 ' Sign + ^ Vo/)1 + 4 t521^0i> T) +
2т] Щ
+ д21Щ1 - r)V0)S22(x0., t) + H(t)Vq - 1
)S23(x0., t)]},
16?
..О)
/ V'> d< = \ S V"' *> vfv = Ч<' + sign +
ж
1 .1 ~Slo(Xor T' + ~4
Sll(xOi' r) + ^4 ^12^X0i'
(4.46)
2i p
/ dt - -j [521 O^oi' r) + ^2S22(X0i' '
О (tm)
О
-(2)
11 i , <5
I v*>л = yo/Vй'!) ^ГГ = -] + я^о - j) 4.
T(1) -I 0 . Ц
J2)
XOi
$ Fu(t)dt = -±H(r,vQ-l), u0i = -f
~0) v
Здесь функции S10(x, r), S^x, r) (k =1,2; /-1,2,3) и коэффициенты дк
имеют вид
--у
510(х, т) = arctg----------,
г -f
и t> \/7Г,у
V*- г> * -----+ И* * ^ J
- fl- ,, ' + ''lv * - '>№2 -
- 1" tTiJ+v1--------------
V^2 - S]2txz)
Sk3(x, V) = arctg 0-5-4-,
r + ,JV
(4.47)
170
2
а, = - 2 V0
(2__ 2 2 ^
\V0
- *1
W
\{\) = (2 - n2v^\
62 = 1 ^!1 " W si8n (yv0 - !)•
Подставляя формулы (4.46) в (4.42) и (4.15), после преобразований
получим следующее выражение для напряжений:
аЗЗо(*'т) = -У0Щг)[А(хгт) + 5( х,т)],
, 2
Д(х,т) = Н(% - 1*1) + ~4 2 H^kv0~ ^дк{Н^а2 ~ 1х1) ~
V *= 1
- я|7 + *$>0(а0 - 1*1)]), (4.48)
s(*.г) = 2 Si0(x0/> Т)Я(Т ~ lx0i') +
1=1
2 2
+ rj 2 2 - WWv) +
*9 Хг=1 /=1
+ №2(V г)Я(1 - Vo) + ^(х0.,т)Я(^0-1)]}.
Характер изменения напряжений,как следует из (4.48), существенно
зависит от скорости t/Q расширения области контакта:
дозвуковой режим, 0 < г>0 < 1 Iff,
А(х,т) = Н(ап - 1x1),
(4.49)
/=1
2 2
+ 4 2 2 W)[>V*0/' T) + ^kSk2^Xor T^;
ЛТ1 k=l i= 1
трансзвуковой режим, Mrj < vQ < 1,
2 p o'
S<*.4"^"(.-IV) -SI0(*0(,r)+-jS,A?z)
Ы L "
5 2
+ ^ Я^Т ~ ^ог'^гз^ог т) +
Щ /=i
2 2
+
2 2
+ JjnB<'-VV)sA"'
Ml k=l(=1 сверхзвуковой режим, > 1,
Д(х, г) =
2
= #О0- Ы) + j <5*{Я(а2- 1x1) - Я[т + г,2М%- >*1)1) >
V 1г= 1
(4.51)
/=1 2 2
+ Zl4 X 2 ~ Т) + ^kSkl(X0i' Т^'
(tm) *=1 /=1
Для исследования поведения напряжений по формулам (4.48) на
критических режимах (vQ = l/?/fe) необходим дополнительный
анализ. Из (4.47) найдем
V2 Vtг-п2х2
Skl(x' т)--------т + ?-х^~ ^ (?* = Vo ~ 1 - _0)'
S.Jx, т)
т +
г.х ,---
(еЛ-+0),
,2\2
V2 Ут2 - ff^x2 Vkx
а1"175и/|' "'i-(r))- (.г - в). М.52)
lim Jx, г) = lim <3.5 (л, т) = (2 -1/2)2 V f-~.
г(-* -0 1 11 е +0 1 14 Т + Х
Т> = liffl+(AS23 = °*
?2~* -0 г2~* +0
172
Рассмотрим функцию Л(х, т) в (4.48). Первое слагаемое не зависит от vQ.
Слагаемое, соответствующее <52, стремится к нулю
согласно (4.52). Слагаемое, с коэффициентом <3j при -* +0
стремится к бесконечности. При этом его носитель стягивается в точку.
Покажем, что в пределе получим также функцию, тождественно равную нулю.
Для этого представим это слагаемое
так:
1*1) - H[r + vQ(aQ-\x\)] = <510(V/(", ?I),
Vv ' - V1)-
