Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
^02 = ~K3lUl ~ к32^2 + У ^33^\V (3.81)
4
Mm=-/(AlVU +>'22V12) + Y + =
= r[№vu + Угг> +!>uvi\
Отметим, что в отличие от формул (3.78) здесь касательные
составляющие силы R{ и R2 не зависят от скорости изменения'
объема, ограниченного деформированной поверхностью и невозмущенной
плоскостью П10, а момент М03 не зависит от
интегральных перемещений. Определяющими для коэффициентов формул (3.81)
являются только 7 упругих постоянных, а в случае граничных условий (3.26)
их по-прежнему четыре. '
3. Ортотропная среда (1.69). В этом случае в формулах1 (3.75)
необходимо дополнительно положить с25 = с35 = с46 = 0.
Матрицы D2, К1 и К2 приобретают следующий вид:
С55 0 0 \ 'о 0 *0)> '° 0 0 ^
1 13
*2 = 0 С44 0 ¦ *1 = 0 0 0 • *2 = 0 0 М)\
23
0 0 сзз J *0) 0 0 0 к(2) 0
V 1 31 / \ 32 /
к\з ~ 4l} ~ l/2(ci3 c5s)' к<23 ~ КУ2 ~ 1/2(с23 - с44).
Собственные числа совпадают с ненулевыми элементами диагональной
матрицы векторы у10 являются единичными, и
соответственно упрощаются выражения для коэффициентов ^1 = с55> ^2 = с44'
^3 = с33> У10 = ^1'
^)=^) = %."g,"S1tr^) = 53- <3-83>
Для интегральных характеристик в случае условий (3.27) из
(3.78) найдем (суммирование по индексу у не производится):
Rj = M0l = Кпи2 ' ^33 *23'
(3.84)
М02 = ~к31^1 + >^33 ^13' М03 = У (-|Ы22 ^12 + ^11^2l) •
Отметим зависимость сил R. только от соответствующих интегральных
скоростей V. и независимость момента М03 от
интегральных перемещений. Кроме того, интересным является совпадение сил
R^ для обоих типов граничных условий. Коэффициенты определяются только
четырьмя упругими постоянными из девяти.
4-7. Ось симметрии третьего (1.70), четвертого (1.72) порядка Оху
трансверсально-изотропная среда (1.72), кубическая симметрия (1.73). Эти
среды оказываются неразличимыми в смысле формул для интегральных
характеристик. Определяющими здесь являются три упругих постоянных с33,
с44 и cJ3. В
случае оси симметрии третьего порядка из (1.70) необходимо "зять
равенства ¦ с|333 = с2333 = 0, с|12э = с,4 = с,321 = cJ6,
с1223 = С46 = с,т - C2S' с4*шс& С13 = С23- ПР" налнтаи °"
четвертого порядка дополнительно к (3.79) с45 = с36 - 0, с13 -
= с23, = c5J. Для трансверсально-изотропной среды и среды с
кубической симметрией (3.82) необходимо добавить условия с13 = с2Ъ и
с44 = с55. Во всех этих вариантах симметрии матрицы
J>2, Кх и К2 имеют вид (3.82), где следует положить:
С55 = с44' *13 = 4з = "4V = "К?2 = 1/2(С13 " С44)'
Формулы (3.83) и (3.84) сохраняются с соответствующими упрощениями.
123
8. Изотропная среда (1.74). Здесь дополнительно к условиям для
трансверсально-изотропной среды достаточно положить =
= 2с44 + с13. Тогда с учетом (1.76) и безразмерных величин
(1.99) из формул (3.83) для коэффициентов в (3.84) и (3.60),
(3.74) получим
=?2 = с44 =Рз ~ 2' ^3 ~ С33 = А = У 'Ь'
(3.85)
ci3 а *P\ = КУ2^Г!\'
1/20,
Отметим, что несмотря на разное число определяющих; упругих
постоянных в пространтсвенной задаче изотропная среда; неразличима со
средами 4-7 в смысле формул для интегральных^ характеристик (3.84).
9. Акустическая среда. В этом случае, как отмечено в § 1.6 есть
смысл рассматривать только граничные условия (3.26). Связь; интегралных
характеристик (3.60) и (3.74) сохраняется, где!
коэффициент определяется формулами (3.85). Формальный^
предельный переход при rj2 -* " от изотропной упругой среды к|
акустической при выполнении граничных условий (3.27) приводит к
зависимости моментов MQl и MQ2 в (3.84) oil
интегральных премещений U2 и- ?/,, так как 4? = 4 2* " I
= -y2/(27j). Аналогичное противоречие отмечено в § 2.9. Оно!
связано с тем, что акустическая среда не воспринимает сдвиговых; усилий.
;
Заметим, что результаты для упругой изотропной и акустической сред
могут быть подучены непосредственно с помощью" анализа функций влияния
для этих сред (2.47), (2.51) и (2.132) и использования формул (3.30),
(3.31) и (3.57).
3.4. Результирующие реакции в контактной задаче
Полученные формулы связи интегральных характеристик (3.37), (3.56),
(3.60) и (3.74) могут быть использованы в контактной задаче для
полупространства (см. § 3.1) только в том; случае, если носитель
перемещений на поверхности полупространства П10 (см. (3.29)) совпадает с
