Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
смешанном характере граничных условий (3.9) или (ЗЛО) и п зависимости от
времени области контакта Q(t).
Большое значение для выбора метода решения контактной
4 лачи для сред с конечными скоростями распространения волн ячсет
скорость vN изменения фшииы dQ в направлении ее
103
внешней нормали NQ. Выразим эту скорость через кия
магические параметры ударника и уравнения поверхности П. Скорость vn
движения точек недеформируемой поверхности
использованием ее параметрических представлений (3.13) ил (3.18) в
соответствии с (1.44) вычисляется так:
Так как кривая dQ лежит в пересечении поверхности П
Скорость изменения границы dQ равна скорости подв) поверхности П в
направлении вектора NQ (приложение А)
Подставляя (3.22) и (3.23) в формулу (3.24), с учетом (3.13 получим
I
I = mod^Z +1, т = mod3(/ + 1) + 1.
§ 3.2. Связь интегральных характеристик
Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Найти для упругого
анизотропного полупространства, движение которого описывается уравнениями
(3.2) при нулевых начальных условия^ (3.3), ограниченности решений на
бесконечности и одном из вариантов граничных условий на плоскости П1():
х3 = 0, соответствующих (ЗЛО)
(3.2Ц
"/ е n' aj3 Хз=0=°'
(jCp Xj) ^ Q, Q П II|q,
(3.26) i
104
г
иди аналогичных (3.9)
*3=°
= W3 (*J, *2) е Q, ст;
33
*3=0
'13
= о.
*э=°
23
х _0 - О (Xl> Xi) ^ HjQ, Q С П10,
(3.27)
связь интегральных силовых и кинематических характеристик на плоскости
П10 [68].
Граничные условия (3.26) или (3.27> показывают, что напряжения о.3 (j
- 1,2,3) или на плоскости П10 имеют
носитель Q. Обозначим носитель перемещений и. при х. = О,
У ^
Qu Q П10> В общем случае Q Q ?2ц. Для сред с конечными
скоростями распространения возмущений в случае ограниченности Q
область Яц тоже ограничена на любом конечном интервале
взаимодействия. Вне ?2ц возмущения отсутствуют, т. е. ?2ц-
"озвученная" часть плоскости П1().
Под силовыми интегральными характеристиками будем понимать интегралы в
(3.11) или (3.12), сохранив за ними соответствующие обозначения
контактной задачи:
Rj= Я amdxidx2= Я sj3dxidxr
R2 °
*01 = //"*2^330^*1 dx2 = Я x2^33dxldx2'
R2 °
М^2 = - JJ xi°330^1^*2 = ~II xl^33dxldx2'
(3.28)
а
^03 - Я (Х1СТ230 *2^130^*1 ^*2 Я (*1523 x2S\3^dxldx2,
а
ст.,
/3
х3=0
= oJ30(xv х2, т) * Sj3(xv х2,
r)H(Da),
Dg - {(Xj, х2, Г) | (х,, Х^) G ?2, f - 0), Slipp Oygo = ^а' HiDa) = 1
(Xl> Х2' т) е Da' H(Da) = °> (*1, *2' Т) ^ Л
а"
Где H(DJ-характеристическая функция множества Dg.
Формулы (3.28) соответствуют граничным условиям (3.26). Для граничных
условий (3.27) из (3.12) имеем R^ = R2 =
= м3 = о.
Под кинематическими интегральными характеристиками будем понимать
соответствующие интегралы от перемещений и. и
105
скоростей и. (интегральные перемещения U., скорости V и их моменты
первого порядка U , V , / = 1, 2, 3; т = 1, 2):
uj = II u/odxi dx2 = If wj dx\ dxv vj = If kjOdxi dxv :
a
Umi = Я xmuJOdx\dX2 = If XmWj dxldxV Vmj = ff xm"j0dxldx:
Q
2'
u.
J
= ujG(xl, xv T) = w.(xv xr T)H(DU),
(3.2 9)
x =0
DU = {(*i> *2' T) I (*!' хг) e Qu' T - °b SUPP uj0 = nu-
JO
В соотношениях (3.28) и (3.29) S^(xl, x2, т) и w(xi,x2,r)-обычные функции
с областями определения Dд и a , х2, т)
и Ujq(x1 , х2, т)-обобщенные функции с носителями D(; и
соответственно. Производная по времени г в (3.29) понимается в обобщенном
смысле.
Рассмотрим сначала граничные условия (3.26). Из формул
(3.28) с учетом свойств преобразования Фурье аналогично [62, 67, 176]
найдем следующую связь силовых интегральных характеристик с изображениями
