Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
напряжений:
\
Rj = lim Jf om^pA+P2X2>dxxdx2 = of iо, 0, г),
Р уР -*0 2
1 2 R i
М01 = ИШ Я X2CT330e'(Pl'"1+P/2) dx\ dx2 =
r2
d
lim (x2033q) 1 lim dp аззо(Р[' Py
T)> <3.30)
n .D -"0 r2
= г lim
Р,,Р2-о
^ .F
¦02ф^ЗЗО^'Р2' T)'
12
M03 = -
llim prp2-0
aDj °23o^pi' p2'T) p2'T)
Используя определение функций влияния первого типа (2.3) или (2.14) и
принцип суперпозиции, с учетом граничных условий
(3.26) найдем в пространстве преобразований Фурье-Лапласа следующую
связь между напряжениями, перемещениями и их производными на плоскости х3
= 0:
^ Г^Чп п *,fL<n п. Г10 - Н
Напомним, что по повторяющимся латинским индексам пр< водится
суммирование в пределах от 1 до 3.
Предельные значения функций Г.^ могут быть найдены из
ра '.'нств (2.27) - (2.29). Для этого сначала отметим, что при Р р2 = 0
существенно упрощается задача на собственные
?н: чения (2.21) и связь векторов и уа (см. (2.27)):
j-2" I п /г. 5-2,
\D2-tfE\ =0, (D2-tfE)y[Q = 0, /!
= А,| = -ys/Zp > 0 (1= 1,2, 3),)
70
Г/0 = Г/
1*\=Р2=0
Р,=Р2=0
(У 1/0' У2Ю' У3/о)Т>
(3.32)
- /О 'I
у(Р)
"о
D'?a$a0
уУ
V"°
cc aC
Вещественность и положительность собственных значений ^ v рицы />2 (см.
(2.20)) вытекает из ее симметричности.
В;.: if чины ^ имеют вполне определенный физический смысл. Ei л и в
формулах (1.63), (1.64) и (1.66) перейти к безразмерным величинам (1.81),
то получим = у2с2/5 где -безразмер-
ной скорости распространения волн в положительном направлении оси Ох^
(в направлении вектора I = еу 1у = 12 = 0, ^ = 1),
отнесенные к с .
Предельные значения г!ч°^? следует из формул (2.29) и
(3.32):
/3 ,к
Гш " гр7 - TZHo- °'*> = 2 =
•V0 '=>
3
2
/= 1
^=№ = 2 (-i/+4^/V
jk > (3.33)
/=1
ЛЛ1) = Ы1) ч/о мы
Р,=Р2=0
р,=р2=о
- (УЮ> У20' Узо)'
107
где -дополнительные миноры к элементам, стоящим в к-'. строке и l-м
столбце ортогональной матрицы Л10, а коэффициен
/3^ равен определителю матрицы, полученной из А]0 заменой к строки на
строку ?хУтЛгУтЛъУ^-
Вычислением соответствующих определителей третьего поряд ка с учетом
ортогональности Л10 можно показать, что матриц
Ф." является симметрической:
($-№¦ 0-34;
Например,
У110 У120 У130 |^1У210 220 ^3У230
$12 ~ $2\ ~ ^1У1Ю ^2У120 tyw ~ I ^210 У220 У230
j У310 У320 У330 | | У310 У320 У330
= ^ЗЗО^ПС/120^2 " ^ " y32(/l 10^130^3 " ^ +
+ У31(/12(/130^3 ~ ^ " ^330^220^210^1 ~ ^ "
" У32(У21(У230^1 " ^ + У31(У220^230^2 ~ ^ ^ = У330^П(/120 +
+ У22(^21^2 ~ + У320^110У130 + У210^230^3 " ^ +
+ ^310^120^ 130 + У220^230^^3 " ^т) ~ ~У 33(У ЗиУ 320^2 ~ +
+ У320^310^330^3 " ^0 ~ У310^320^330^3 ~ = &.iS
Остальные варианты индексов j и к рассматриваются ана* логично.
Подставляя (3.39) в формулы (3.30), с учетом связи напря жений и
перемещений (3.31) найдем изображения резульч тирующих реакций R:
fif(s) = rj3°f (0, 0, s)u%(0,0, s) = -ys/ujPu^i0,0, s) =
= -уц(}^ lim JJ su^(Xj, х2, s)e'(pixi + pixi)dx1dx2 =
1 P>V*V
= -y^jJ suko(xv x2' s)dxidxr (3.36)
R1
Или в пространстве оригиналов имеем
Rj(т) = -yfiftjj 'ит(хj, х2, x)dxxdx2 = -уц$Ук{т). (3.37)
Л2
108
Следовательно, силы R. являются линейными комбинациями интегральных
скоростей V^. Отметим в связи с этим геометрический смысл Vy Это есть
скорость изменения объема,
ограниченного деформированной и недеформированной поверхностями
полупространства.
Здесь производная по времени т понимается в обобщенном смысле.
Вычислим эту производную, учитывая, что обобщенные функции и/л(х1, х2, г)
(3.29) имеют носитель Du С R [ [39]:
йк0(х1, х2, т) = ivfliDJ+ [v)k]dD cos (", r)ddD , (3.38)
где производная ги^ понимается в обычном смысле, dDu-граница области Du,
\wk ]dJ) -скачок функции v>k при переходе извне через
и
dDu, cos (п, т) - косинус угла между вектором внешней нормали п к границе
дХ>ц и положительным направлением оси т; ддГ) - обобщенная функция
