Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Дирака, сосредоточенная на множе-
и
стве dD .
и
Исходя из гипотезы сплошности среды, [u/^ ]&D = 0. Тогда,
и
подставляя (3.38) в (3.37), окончательно для R. найдем
R/У) = -71$ff Щ dxxdx2. а
(3.39)
Для построения аналогичных формул для моментных характеристик MQj
необходимо в соответствии с (3.30) и (3.31) иметь
кроме предельных значений (3.33) функций r!3°?/j аналогичные
значения их производных. Непосредственное дифференцирование формул (2.28)
и предельный переход при pv р2~* 0 сложны.
Поэтому, исходя нз (2.Г9), построим систему дифференциалных уравнений для
производных. Введем следующие обозначения:
v
" дРп
-
dS
*Pn
Vn0=rn
Qno - Qn
pt,p2=0
p,,p2=°
. u0 = u
p,,p2=o
(n = 1, 2),
50 = 5
Pt,P2=°
(3.40)
U.
oo
я =0
3
V = V
' "00 nO
x=0
nO
X3=0
' 500 so
X3=0
109
Искомым для поставленных целей является вектор Q
"оо
Дифференцируя первые два равенства в (2.19) по параметру рп
получим уравнение для вектора V:
- '2 лАЛ -2 wV" - =
m= 1 y,m=l
2
(3.41)1
(3.42)1
№\rP Ё №onm ^ ^0mn)^m^> m=l
и с учетом (2.20) формулу для Qn:
2
Qn = - iA0nu - 2 PmA0mvn.
m= 1 |
Полагая в- (2.19) и (3.41) = /?2 = 0, найдем систем^
уравнений относительно векторов UQ и ;
D2U'< - y2s2UQ = О, D2V"0 - y2s2Vn0 = iDlnU0, (3.43)^
а из (2.19) и (3.42) определим связь с этими векторами SQ я
(r)п0:
¦S0 = D2U'q, Qn0 = D2V'q - iA0nU0. (3.44)
Векторы Uq и Vq должны удовлетворять системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (3.43), ограниченности при х3 -* 0 и следующим
краевым условиям при х3 = 0, вытекающим
из (2.23):
ип
г*
= Уоо = °-
(3.45)
Задача для UQ может быть решена независимо. И фактическое повторение
выкладок (2.21)-(2.29) приводит к результату:
з
"о-? Сй - С[
Р,,Р2=о
= (-1)*+/мЦ, (3.46)
где использованы обозначения (3.33).
Отметим, что подстановка (3.46) в формулу (3.44) для SQ
дает ранее полученные формулы (3.33) для Левые части
обоих уравнений (3.43) совпадают. Поэтому ограниченное при
110
Х' -* 0 решение уравнения относительно VnQ может быть записано так:
3 3
у" = 2 н?к/л + 2 Ум
/=1 /=1
где Hi-произвольные постоянные, и собственные векторы
определены формулами (3.33).
Первая сумма в (3.47) является общим решением однородного уравнения
(3.43), а последние три слагаемых-частные решения, которые разыскиваем в
виде
vl* = (3-48)
Определяя вектор из (3.47) получим ограниченное
решение второго уравнения (3.43):
кй = 1 ("|Я + 5*Л"Ч.)>У*'Л- (3.49)
Yi* = 1?кРг 1])1пую'
Однородные граничные условия (3.45) для выполняются при #^ = О
(/=1,2,3). Тоща, учитывая формулу (3.46) для UQ,
найдем
- ЬЧ'4А (3-50>
Подставляя (3.50) в (3.44), получим вектор QnQ:
е"о -' [(5"" - Ah) ^0 + ь(r) 1"°о] • ал >
Тогда искомый Ёектор Qrt00 с учетом (2.20) равен
е"оо - "Ло- - 2л1. - Л* ' - А,") = <"0 s"3-
2*;(n) = с _ с *;(") = О /С(П) - -
К(П)
jm jnm3 fimn' Kjj v' Kjm Kmj'
(3.52)
где матрица An кососимметрическая.
Элементы столбца Qn00 при каждом пик согласно обозначениям (2.19) и
(3.40) есть предельные значения производ-
111
ных функций r^f по параметру рп и в соответствии с (3.52) граничными
условиями (3.45) для UQ они имеют вид
"10 FL
(3.53)
lim -= йс(")|5 , iK(?\
до /т тк jk
р,.р2=о п
Полученная формула (3.53), второе равенство в (3.31), также
предельные значения в (3.34), позволяют получит)
]э,К
из (3.30) следующее изображение момента М01*.
ЭГ
MFL
й
FL
ММ (s) = lim ' + г10/х-
р ,р -*0 12
