Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому для его вычисления используем связь пространственной и плоской
задачи (см. § 2.7).
Изображение преобразований Ханкеля #Q и Лапласа функции
G (r, т) с решением плоской задачи связано формулой (2.90). Функция GJix,
т), как следует из формулы (2.67), является 86
j (2.120) i
четной по х. Тогда, полагая в (2.104) С = 1 /(2тг) с учетом (2.68) найдем
00
Ge(r, т) = -I/ х(х2 - r2)-+3/2[Gn(x, т)Я(т - 1x1) + о
+ G^(x, т)Я(т - г] I xl) ] dx =
П2
= -^2 [/j(r, т)Я(т - г) + / (г, г)Я(т - 7/г) ], (2.121)
я
/((г, т) = / х(2т2 - т]2хг)Чт2 - ^Р~'(х2, Т2)(х2 - r2)~3/2dx, г
тЛ; _______
f \ л Г ^2 ,2 2ч,Г"2 Т~Тп-\, 2 2ч/ 2 2ч-3/2
.
/2(г, г) = 4 J г х(г - х )V т - т] х Р3 (х , г )(х - г ) ах,
г
пс интегралы понимаются в смысле регуляризованных значений.
^ " 2 С помощью замены переменной интегрирования х = г представим
интегралы /j и /2 так:
,, , 1 ''(2т2 - ,2г)У^ - z
2 ? ^<г2. гНг - 'V"
(2.122)
!тУ4г2(т2 - z)yf7^7I
JJr, т) = J J --------=----------r-rIj-dz.
2V 2 J Рз(т21 z)(z _ /• )
Подставляя в (2.122) разложение многочлена /J3(z, г ) на
множители (2.75) и раскладывая соответствующие рациональные функции на
элементарные дроби, запишем интегралы и /2
следующим
образом:
Jk(r'r) = Yr16lV*i(r'T) + /*2(r'T)1'
Ыг> т) = / Xk = Xlr,k' (2Л23)
_2 (Z - CRX ){Z ~ Г )
Г
~Т~ W_
п /_ -2\ / 2ч 3/2
P2(z, т )(z - г )
fi?Z,
87
А -4
(* = 1, 2),
<2 ~ '2Ф2 4 1 " 4
а =--------------- ь =г) - а , а- = -Ъ = 4---------------5----.
^(4') 1 2 . > уу,.*.,)
Вычисляя интеграл /^(г, т), найдем (145 J:
т2(1 - тЦс\) х2 - п2кг2
Jkl(r, г) - - 2 ТГУГ' т) + ~Г2 2 2,/б(г' т) ~
**(г " сят ) "?*(г " сят )
7м(г'т) =
2TF/ 2 2 2ч-3/2
г,kcR(r - CRX ) +
(2.124)
(т? + г2 - 2c2t2)z + (т2 + г2)с2т2 - 2т х arcsin ------------
--------Л--------------=-^=--------
lz - С2т21(г2 - г2)
л
" ./(Г- Уф/-'#1) (г>с*т)-'"(г'г)'7^х
2
vz^!?) - дги . ^ +
х 1п
2 2 2-сЛт
2у/гк(с*ях2)
= 0 (г < сЛт),
где многочлены Z^(z) и интегралы /^(г, т) определены формулами! (2.116).
5
Для вычисления интеграла /fc2(.-, т) сделаем замену перемен- ]
w 7 2"? 1
кой интегрирования и = (г, - z)/(z - г ) и выполним соответст-1
' ;
вующую регуляризацию в точке и - + <": I
оо 2
/"(Л т)= 2ihf п , 2) [(V2 + с^2)"2 + rl(bk + СР] du = ]
п j
е2"("2) - ("2 +1)2^
W + r* '
-----,т
и + 1
i ;
(2.125)
= P2(r2, т2)и4 + 2tJ/>u(/-2, г2)!/2 + х\Р2( 1, j/2),
Pu(^' *2) = ^ - "2^2 + 42(fi2j2 - "V) -
" (1 - а^г2 + ф2^2 - а2)х2,
ак = [Р2(г2> r2)(bk + ск) ~ 2р1к(^ т2)(*/ + V2)] т*'
^ **xv*+ V2)-
При к > к^, как следует из (2.125) и (2.75), многочлен Q2f.(u) имеет
комплексно сопряженные корни, и для интеграла Jk2(r, х) получим
Т ( г\ - ?* Г ~КУ2-^)Ц-^Л^ _
*z(r') = ^rV*^U адВ)
_ Ку2-1*)ц+/№*1 , лг1к(акеА-Рк>
0м(-в) ] " Pli^Ae/S4ek-d2k
= ~пЧк(г2, г2),
,z> = + *2>+
е"(ЛЛ
(т2 -j/2^2)]:
(2.126)
125Л(Лт2)'
Qu(rz, О = {Ька* + су - (bf + скау2
sy, х2) = ±[Vp2(AtV2(1,^) + />и(г2, т2)],
Q2*("2) = т2)ОоДы)Оол(_")' 0о*(") = "2 + + V*'
ek = ylP2(l,V2k)/P2(S, т2), dk = VTV^ - Pu(r2, T2)/P2(r2, т2) .
89
При к < многочлен Q^W имеет два отрицательных!
действительных корня, и вычисление интеграла J2k'r' т) приводит!
опять к результату (2.126):
2
P2Jr2, т2)
akdk2 + h г Ли б2 - <52 { и2 + д2
