Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
12,3 Д,тЗ /3,n3 3 3,/i 12,33 12,3 /3,3
(/, &, m -- 1, 2; / * n), где <5-символ Кронекера.
На первый взгляд в формулах (2.131) и (2.132) имеется ряд
противоречий. А именно, не" выполняется предельный переход при х3-0 ДЛЯ
функций G)*L, Gln = G\f, G2^ и Г2^
(/' = 1, 2; я = 1, 2, 3). Более того., функция G20.?L неограничена при
?72 -" оо. Однако эти факты, а также, например, равенство
между собой функций Г^; .. и Г^п ^ при фиксированных
йндсксах i и j и равенство нулю функций Г*. т, V2 тп и Г3 при , # / или т
it п, естественно объясняется моделью акустической срелы: она не работает
на сдвиг (ju = 0) и тензор напряжений яв.-.яется шаровым (1.89).
Из формул (2.131) следует, что нетривиальными для акустической
среды являются следующие функции влияния: G^3,
(У .: (и = 1,2,3), Г^33 и Г33 33> Следовательно, есть смысл
ра. матривать только функции влияния второго типа при к - 3 и третьего
типа, что полностью соответствует постановке краевых зэгь.ч для
акустической среды, приведенной в § 1.6. Однако, как сл^ует из граничных
условий (1.93) и (1.94), более естественным для таких сред являются
задание на поверхности скорости у ;з не перемещения) и давления р.
Назовем координаты вектора скорости V2 = и давление
Л2 - р функциями влияния второго типа для акустического полупространства,
если они удовлетворяют уравнению (1.101), нулевым начальным условиям,
условиям ограниченности на бесконечности и граничным условиям
pj =(5(xj,x 2)<НТ)" (2.133)
а скорости V* = V. и давление А3 = р функциями влияния
третьего типа, если они удовлетворяют аналогичной начальнокраевой задачи
с граничными условиями вида
*з=°
= <5(*1,х2>5(т). (2.134)
Учитывая связь напряжений с давлением (1.88) и скорости с перемещением
(1.91). получим следующую простую связь функций в. ияния, полученных
предельным переходом от упругой среды, и
ф'-мкций vi, А1 (J= 1, 2, 3,- I = 2, 3);
, _ _Г1 Л2 _г2
7 ~ ui,3V ~ 1 зз.зз'
3 , , тг , (2.135)
* ; ~ G/,3' Л - Г^з 3Л.
о
Функции влияния V1 и А' могут быть использованы для
роения интегральных представлений скоростей и давлений,
аналогичных (2.7), или соотношений на поверхности акустичес-
полупространства типа (2.9), (2.11) или (2.13). При этом
с'с пвную роль играют функции V2 и Л3. Аналогично (2 52),
•'.<> и (2.76) введем специальные обозначения:
, Л-Л3|
дс3-0 х3-0
93
Vj(xp T) = V(xv X2, r), A/(Xp r) = A(Xj, X2, r),
(2.13|
Fa(r' T) = F(*l' x2> T)> Aa(r' r) = л(х1> X2> T)>
где Vj и A^., К и -решения соответствующих плоской
осесимметричной задач.
Тогда с учетом (2.135) получим следующую связь оригинале и
изображений функций влияния для акустического полуп ранства и полученных
предельным переходом функций:
Vf = ~GS ' Л/ = rfAxV Qdt'
О
!
т
Va = -Ga> Аа = ~f Га*(г>
о
(2.137;
v'fL = Af = = -sTFfL,
yHL _ _ л HL ____1 p#L _ ptfi
a a ' a s a* a '
Таким образом, для акустического полупространства достаточ но
рассмотреть предельные значения функций влияния Tf,
Gj и Gfl. Далее перейдем к безразмерным параметрам (2.69).
Б. Функции влития Tj^x, т) и Г^(х, т). Изображения эти
функций для акустической среды, как следует из формул (2.53) (2.89) и
(2.132), имеют вид
r/V s) - _v^r-т, '-у.
(2.138)
Оригинал функции Г\(х, т) для плоской задачи может быт
найден предельным переходом в (2.57), или непосредственным обращением
преобразования Фурье-Лапласа или с помощь^ применения алгоритма
совместного обращения (2.58), (2.59): \
Г/*, т) = J Н(т - 1x1) =
(2.139)
Оригинал функции влияния Г (г, г) для пространственной
задачи может быть найден предельным переходом в (2.97), илй
непосредственным обращением преобразования Ханкеля-Лапласа или с
использованием связи плоской и пространственной задач (см. § 2.7), и
имеет вид
га0% *У~ "2^ д(Т ~ ГУ (2.140)
44
В. Задача Лэмба. Изображения решений плоской и пространственной
задач Лэмба, как следует из формул (2.53), (2.90) и (2.132), определяются
так:
0fL(p, s) =
2ж s
(2.141)
Непосредственное обращение преобразования Фурье-Лапласа I функции G^l
с уче сл<.лующиму результату:
Gf x, т) = -~Vr2 - х2Н(т -1x1)
дли функции G^l с учетом (2.55) и следствия 2.2.1 приводит к
(т2 - X2)1/2
Gb:L(P, s) = -
лх
1
el______
s2 V7r+ tS
r'L-'
VTT?'
¦ ~7(*2 - -V/2-
<2.142,-
Тот же результат получается при предельном переходе rj, - т] -* "*> в
