Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Выполняя в (2.53) замену А = p/s, найдем
2
Tf(xr) = 2 гд(*> Т)Я(Т - Чк^\)
(у22х2-1т2)2
(2.57)
г/?0>> s) = /(s) = 1/s'
Тог, найден так [182]:
(2.58)
Г1.х, г) = lim F(z, т) lim Г(2, г),
* ^ I А .. w А
(2.59)
>>-*+0 ,у-"-0
^ 1 1
г(7- г) = - Г) = - 2^,(z, Т),
ил
Т
z -¦х + iy G С, <px{z, т) = Aj [X(z, т) X = т^,
66
j- se F(z, г)-аналитическое представление функции Г^.(х, г), звездочкой
обозначена свертка по времени т.
Функции A(z, т) и &3[A2(z, г), 11 (см. (2.44))-однозначные
функции комплексной переменной z, и для них справедливы следующие
соотношения:
А0(х, г) = lim A(z, г) = -ir/x,
у-*± О
lim ?3[A2(z, г), 1 ] = lim &3[-r2/z2, 1 ] = rj^ " 2r2/x2, (2.60)
у-"±0 у~*± о
А = -'-={у + ix), ReA < 0 (у -* +0); ReA > 0 (у -" -0).
I гГ
2
Выделение однозначных ветвей к.(Х , 1) (/ ==1,2) в соответствии с
(2.39) проводится с помощью i;j срезов комплексной плоскости Л вдоль
.имей оси (рис, 2.1). Тогда с учетом
'У
2 39) и (2.60) пределы функций к.{Х , 1) fi;/дут равны (J = 1,2):
lim ка2, 1) =
.,->±0 1
= V?/? + Aj = V"/2 - г2/х2 (It/*! < t]j).
lim kj(X2, 1) = ±/V-(77? + Aq) sign x -
= ±i sign xVt~/x2 - nl (\ifx\ > ~ ).
¦L ' 'j
Выполняя предельные переходы в (2.59) v учетом (2.57), (2.60) и
<2.61) и норавен-сibd 0 < ij < в (1ЛШ), для
оригинала
•¦одучим пр" i т/лч < 1^=0, при ?7} < Ir/xl < ?/2
1тЛ
LVi
in"
* 1
re jl
~lVi
-i7j2
Рис. 2.1. Разрезы комплексной плоскости к
67
Р2 0ц\х2 - 2г2)2
- 2 4л/""2 2Т -
^/1^' т)' ^.62)
и при j т/х j > т]2
р R (х^ т^)
Гуг(*, т) - Г^(дс, г) = --2 ^4^_2 _ 2^2 = Т) + ^/2^' Т)'
Л"/2 XVI - т/.дс
2 ______ _ ____________т_
(2.63)
R2\(x, т) - (tj2x ~ 2т^ - 4rVr - у^х Vr -
Объединяя формулы (2.62) и (2.63), приходим опять к
результату (2.57). Отметим, что функция Г^.(л, г) является
обобщенной, и при вычислении интегралов от этой функции необходимо
использовать соответствующие регуляризации.
§ 2.5. Плоская задача Лэмба
Решением этой задачи на поверхности = 0 является
функция G^x, г), изображение которой указано в (2.53). Решению этой
задачи, как указано в начале главы, посвящено большое число работ.
Подробное исследование ее проведено, например, в [179, 182]. В
этом параграфе кратко изложим
процедуру определения оригинала функции G^1 и укажем на особенности G^x,
г), гак как в дальнейших исследованиях эта функция влияния будет
существенно использована.
Построить оригинал GyL последовательным обращением интегральных
преобразований не представляется возможным. Поэтому аналогично второму
подходу при вычислении оригинала T^L в предыдущем параграфе используем
аналитические представления Gy(z, т) функции Gix, г):
/V /Ч
GIx, г) = lim G (z, г) - lim G (z, г),
J y-"+0 y-"-o
1 1 r) - -^g'(c)*<p2(z, t) =
~2л<Р2(^ r)>
dX (2.64)
f2(z, r) = h2[X(z, r)
К s) = /0)Л2(Л), h2{X) = 1 /А,(Я).
68
функции g(т), A(z, /) и h^X) определены равенствами (2.58) и
Выполняя предельные переходы в (2.64) с учетом (2.60) и М), аналогично'
(2.62) и (2.63) найдем, что при \г/х\ < г]г
Gf = 0,
при rjl < \х!х\ < Г)2
Gix, г) = lim h [X{z, г) ] - lim h [A(z, г) ]i =
/ mix l^+0 1 1
ЛИ'--------*
1
(b ~ 2^) + 4^' siSn ^ V
1
,.2\ T2
- 2-^j - 4- г signx\ rj
2 _ /.,2
- _ r.2 2 2 T 2 ^1
2 2/ 2 2 т 2ч2
^2 * (^2* ) /"7--------y
= ДГ v 2 2-----------------------------------' T = Gfl.
(2.65)
ЛР2 Л(*2, т2) 1 *
/'4(x, т) = (r]\x - 2т)4 - 16т2(г - j/2x)(r ~ j/2jc), ; ри Ix/xl > ?/2
