Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(3.9)
Жесткому сцеплению ударника и полупространства по всей области
контакта, как следует из (1.46), отвечают следующие граничные условия:
uj
J/3
=0 = wj = ("с +
гуП' <у)' (*!' *2) е Q>
(3.10)
100
При записи (3.9) и (ЗЛО) дополнительно положено, что граничная
плоскость П10 полупространства вне области контакта
свободна от напряжений, т. е. = 0 в формулах (1.8) и (1.9).
Безразмерные контактные сила R и момент М, входящие в правые части
уравнений (3.4), для граничных условий (3.10) в соответствии с (1.21) и
(3.7) определяются так:
R = JJ Т dx{ dx2 = JJ Т dx{ dx2 = Re., Q ^
'
^•=ГГста dx,dxn, Г = Т^,
1 J J /3 л 1 2' п '
х =0
3
М = - [ис, R ] + М0 = Mfj,
М0 = Я [г0' т] dXldX2 = //lV Г] dXldX2 = М0fr
г0 ~ ХIеI + х2е2'
(3.11)
"а = СucmRl ~ ucPJ + "Оа = ~%-кис/*к + "О"*
(7 = mod3a +1, m = mod3(a + 1) + 1),
"01 = 11 х2а33 dxxdx2, М02 = -//*1°зз|
dx{dx2,
"03 - Я (Х]а23 Q V
хз=0
- Х2а13
*з=°
dx\dx2-
Здесь -компоненты в прямоугольной декартовой системе
координат псевдотензора третьего ранга Леви-Чивита [166]. Последние
определяются так: = 1, если перестановка
(", /3, у) - четная; е^=-1, если перестановка нечетная;
en(iy = если сРедУ индексов а, /3, у есть два одинаковых.
Для граничных условий (3.9) формулы (3.11) упрощаются и имеют вид:
R\ ~ R2~ М3~ *3 II а33 dx\dx2
Q 3
Мх = ~uc2R3 + Af01, М2 = uclR3 + MQ2,
33
Q
*з=0
dx{dx2,
(3.12)
"02 II х\°:
a
33
dxxdx2-
101
Для замыкания контактной задачи, определяемой соотна шениями (3.1)-
(3.6), (3.8) и (3.9), (3.12) или (3.10), (3.11) необходимо задать область
контакта Q. Общие соображения п этому поводу приведены в § 1.2 и 1.4. В
первом приближена] определим Q как плоскую область, граница которой 0Q
являете пересечением плоскости П10 и поверхности П, ограничивающа
ударник.
Поверхность П в произвольный момент времени т в систем координат
0xjx2x3 согласно (1.36) и (3.1) задается так:
Тогда кривая 0Q неявно задается следующими уравнениями:
Отметим, что начальные условия для ударника (3.8) го перемещениям и
углам поворота не могут быть заданы про извольно. Их связь обусловлена
касанием в начальный момек времени т = 0 поверхности П и плоскости П1().
Найдем нормаль
ный вектор N в произвольной точке поверхности П, исходя и ее
параметрического представления (3.13) (нижние индексы поел запятой
обозначают производные по ^ и ?2):
из столбцов с номерами т и п. Тогда условия связи параметров мю' ^о' и
имеют ВИД
где ?10 и ?20-значения параметров и ?2, соответствующие точке касания О.
П - П2т: г - rn(^j, ?2) - ис + ryJj(|j, |2), П ^ ^ - Г10,
П: х. - х(П(?р |2) - ucl + |2) (?р %г> е
(3.14;
(3.13:
где ^2)-МИН0РЫ второго порядка матрицы X, составленные
**(*10. ^20' *0* ~ (r) (^ - Ь 2),
МЮ + ^20) = ^ (г = I, 2, 3),
(3.16)
Частным случаем параметрических уравнений (3.1) поверх-5; .ти П0
является ее явное задание в связанной системе
г .ординат Сгууугу^
П0: У3 - f(yv v2), >'2 = ?2>
*1 = Ур %2 = >2- Хз = f(yl' У2>' <ЗЛ7>
гуП = уА2) + у2ег] + Л?1 - >'2)ез2)-
гда уравнение поверхности П в произвольный момент времени т найдем из
(3.13) и (3.17):
П.- Xj = исХ + + /?21>'2 + ^31^1" ^
*2 = ис2 + /Wi + РяУг + Рът/Ьх, у2)> (3.18)
*3 = исъ + Р\ъУ\ + ^23>'г + ^з/Ор V2),
а вектор нормали А' к ней получим из (3.15) и (3.17):
N = NyjefK (3.19)
"" = -/; I- ^3*1-
Уравнение кривой дЯ и уатовия связи начальных параметров находятся
таким же образом, как и (3.14)-(3.16), из соотно-tr ,'ний (3.17)-(3.19).
Системы уравнений (3.13) или (3.18) можно рассматривать аналогично
(3.12) как неявно задающие поверхность П в
и рциальной системе координат
II: хъ = f2(xv хг, т) (Jct,x2) е ^ (3.20)
Прй этом вектор нормали N к поверхности П имеет вид
N = grad F = -f2 х ех - /2>х е2 + е3,
1 (3.21)
F(X[, х2, ху т) = хэ - f2(xv х2' т)'
Используя методы дифференцирования неявно заданных Функций, можно
показать, что векторы, определяемые равенствами (3.15) или (3.19),
коллинеарны.
Основные трудности решения поставленной задачи заключа-к н ч в
