Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
f%j) = 2f(g)>
из формул (2.98) и (2.99) получим представление (2.101), где
00
Кс№' = Кз(х' г) * 2С / qIv^ dq-
о
Последний интеграл понимается в смысле регуляризованного значения и
может быть вычислен так [73, 145];
а "
KJ.X> г) = 2С--/ / (дг) sin(qx) dq =
0
, sin fvarcsin -I = 2Cdx "77-/ Я(Г ~X) +
nv
2
+ j j 21 , \/ 2 i \v r)* (2.103) Vr-r(x +Vr-r)
В частности при v = 0 из (2.101) и (2.103) найдем 00
?<>) = / *с(*, r)f(x)dx,
О
(2.104)
Кс(х, г) = ^(х, г) = 2С~(х2 - г2).;172 = -2€х(х2 - г2)~3/2,
а при v = 1 имеем
00
iid = / *eI(*. r)f(x)dx,
0
(2.105)
1 = 2Cr(r2 - х*)1зп = -Ке(л, л).
Следствие 2.3.2. Пусты 1) даны функции /(х)-нечетная
(х 6 R) и g(r) {:г > 0); 2) Л?) = ~iC/(g), q > 0.
Тогда существует ядро А^(х, г) такое, что справедливо
равенство:
00
fr) = fxjx> ')f(x)dx.
(2.106)
о
Доказательство, Положим, что Fj-синус-преобразование Фурье (значок s
указывает на изображение), а Ь'г-преоб-
80
разование Ханкеля Н^. Тоща ядра К2 и Ь2 определяются формулами (2.102), а
и имеют вид
2
Кх(х, д) = sin (ax), L^(q, х) = ^sin (дх),
Y\ = у2 = Г = {0, +ао)-
Учитывая связь изображений экспоненциального преобразования ф'/рье и
синус-преобразования для нечетных функций [116, 182,
1831
f(q) = 2 ifs(q),
из формул (2.98) и (2.99) получим представление (2.106), ще
ядро аналогично (2.103) имеет вид [73, 1451:
00
К"(х,'Г) = KJx, г) = 2С/ qJv(qr) sia (qx) dq -
= -2C- J /w(er) cos (gx) <?* (r) о
= -2C
cos [v aresin (x/r) ]
H(r - x) +
r sin (Jtv/2)
(2.107)
В частности при v = 9 из (2.106) и (2.107) найдем
00
Л') "/*,(*>')/(*)<&>
о (2.108)
г) = г) * -2С~-1(Р - -т2>;1/2} = 2Сх(? - х\гП,
л при v = 1 имеем
90
^г> = / *Sl(*' 'Ж*) dx'
а
К i(x, г) - -20
Их
cos [aresin(x!r)ltr, ч ,
~Ч7^7 {г ~х)
(2.109)
Из следствий 2.3.1 и 2.3.2 вытекает следующее утверждение. Следствие
2.3.3. Пусть: 1) даны комплекснозначная функция gif) = gj(r) + ig2(r) (г
> 0) и функция f(x) (х е R); 2) g^r(q) =
= Cf(q), q> 0.
Тоща существует ядро N, такое, что справедливо равенство ] 00
j
g(r) = / Nv(х, r)f(x) dx. (2.110) |
- °0 I
Доказательство. Функцию f(x) представим в виде) суммы четной f^(x) и
нечетной f2(x) функций: j
f(x)=fl(x)+f2(х), |
/х(х) = ±(/(х)+/(-*)], f2(x) = \v(x)-f{-x)).
Тогда по свойствам преобразования Фурье [116, 182] и условиям
следствия имеем
/(?)=/f(?) + ^(<7), $*Q) = Cfk(q) (к = 1,2). '|
Применяя к функциям fk(x) и g^(x) следствия 2.3.1 и 2.3.2,
получим <
00 00 >]
81(О = / *<*(* r)fx(,x)dx, g2(r) = J KJx, r)f2(x) dx. j
0 0
Тогда для функций f(x) и g(x) имеем
gi W = р W*) + Л-*) г) ^ + 3
0 !
,00 оо |
+ У !/(х) - Л"*) !*",(*> r) dx - f Wv(x, r)/(x) dx, I
0 0 ;i
^v(x* r) = Ncv(X> r) + r)' j
1 1 (2ЛП) NJx, r) = \[KJx, r)H(x) + KJ-x, r)H(-x) ] =
I xl, r),
NJx, r) = i[ATw(x, r)H(x) + KJ-x, r)H(-x) ] =
= ^signxX^lxl, r).,
В частности, при v = 0 и v = 1 из (2.111), (2.104), (2.105),, (2.107)
и (2.108) получим
82
Nc(x, г) = NJx, г) = jKc(\x\,r) = -Сlxl(x2 - r2)+3/2,
Г
Ms(x, r) = NsQ(x, r) = ^sign xKs(IxI, r) = -Cx(r2 - x2)~3/2,
