Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично плоской задаче (см. § 2.4) ограничимся рассмотрением
функций Gfl и TFL (см. (2.52)). Вычисление их оригиналов последовательным
обращением двойного преобразования Фурье и преобразования Лапласа
является сложной Задачей. Однако можно учесть, что граничные условия
(2.15) при к - 3 и (2.16) для этих функций носят осесимметричный
характер. И поэтому вся начально-краевая задача является осесимметричной.
Введем цилиндрическую систему координат Огвг по формулам (1.102) и
следующие обозначения:
ТЛГ> т) = ГЦ> xv т)'
(2.76)
Ga(r> т) = G(xl> х2, т)> г (r) ^*1 + х2
73
Тогда в соответствии с (1.114)-(1.116) и выбором безразмерных параметров
(2.69) задача для функций и Ga определяется!
соотношениями
<Р
32
Д<р = <р, Arf> - Ц>/г - rj ip,
JL
дг*
л - - о. 1 д л. д
.2 Г дг dz2J z х3'
(2.77) •
_д<р__дЦ>_ _ д<р 1 д(пр)
дг dz' 3 dz г дг '
= а_
dw
+ к
ди
'33 uzz 0Z "и Л ^з,- + r j ' °гЪ °п y2{dz ' дл
нулевыми начальными условиями, ограниченностью решения на бесконечности,
а также граничными условиями для Г = а \
1 (ди dw
(2.78)
а*
2=0
= 0, w
г=0
= <5(т)д(х, у),
и для Ga = w
г=0
= о, а
г=0
= (5(т)с5(>, у).
(2.80)
Заметим, что дельта-функции Дирака <5(л;, у) и д(г) связаны следующим
соотношением [34, 160]:
У) = ^{г)-
(2.81)
Для решения задачи (2.77)-(2.79) применим интегральные;
преобразования Лапласа по времени г (см. (2.81)) и Ханкеля по!
радиусу г [160, 182, 183]: |
СО -j
1НКч) = / f(r)rJv(rq) dr, j
00 0 (2.82) j
f(r) = S f\q)QJv(rq) dq. j
0 ' |
Здесь Jv{x)-функция Бесселя индекса v, значок указывает на
изображение, a q-параметр преобразования. Для функции <р используем
преобразование Н{), а для ц>-преобразование Ну
Индекс v там, где это не вызывает разночтений, в дальнейшем опустим, и
изображение Ханкеля будем обозначать значком Н.
В пространстве изображений уравнения (2.77) с учетом нулевых
начальных условий имеют вид
¦2 HL -2 .HL
° 'Р ,2, 2 2Ч HL п ° Ч> ,2,2 2 s.HL п
----2----> 5 УР = ----2~ - k2(q , s =0, (2.83)
dz
dz
74
где ky(q, s) и k2(q, s) определены в (2.39).
Изображения перемещений и напряжений с учетом свойств реобразования
Ханкеля и формул (2.78) связаны между собой
Л./,# Л J*
И Н vy И . Я
и = " "аР w + ^ '
Я н " : К (2-84)
Ограниченные на бесконечности решения уравнений (2.83) имеют
S - д
<pHL = С0(9, s)e"*iz, xi>HL = cx(q, s)e"V, (2.85)
г I,- CQ и Cj-произвольные функции, не зависящие от z.
Учитывая связь преобразования Фурье по двум переменным г
преобразования Ханкеля [182, 183]
(/(Г) f = Jf /(Vxf + xjj /V, + pi4)dxxdx2 =
R2
00
= 2л J rf(r)JQ (ry/p\ + P*\ dr - 2л:\f(r)H], (2.86) 0
найдем изображение дельта-функции д(х, у):
{д(Х], x2)f = j^[d(xv x2f = ± (2.87)
Подставляя (2.85) в формулу для перемещений и напряжений <>..84), а
затем полученный результат в изображение граничных условий (2.79), с
учетом (2.87) получим систему уравнений для tpределения CQ и С{:
+ tfCj = 2~^, 2 qk^Cy - &3Cj = 0, (2.88)
къ ~ ^З^2' f it k^(q, s) определена в (2.44).
Решая эту систему и подставляя найденные CQ и Cj в (2.84) и (2.85),
найдем изображение функции влияния Г (г, г):
r"Vs) = °?zL z=0 = s)>
(2.89)
С = s2T^L(q, s), S) = Ff\q, s),
75
где Г^(9, s) и rJL(q, s) заданы равенствами (2.52).
Отметим, что формулы (2.89) могут быть получены непосред ственно из
выражения (2.52) для Г (р^, р2, s) с использование связи преобразований
Фурье и Ханкеля (см. (2.86)). При необходимо в (2.52) заменить р2 + р2 на
д2.
Для получения изображения функции GJr, г) необходв
потребовать, чтобы функции (2.85) удовлетворяли rpai условиям (2.89).
Тогда с учетом (2.89) и (2.53) найдем
