Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Здесь под индеком а понимаются следующие символы: a
при j = 1, а = кЪ прн у = 2 и а = к = 3 при у = 3, a M^j-да
а1 ~ а2~ аз ~
ортотропная среда (см. (1.69))
^a7jSPv Р2' р2' ^ ' ^7^1' р2' ~^l(P 1' р2' (r) ^ '
(2.31)
трансверсально-изотропная среда (см. (1.72))
а2к(рх, р2, s) = + р\, *2), A/pj, р2, s) = -fc^Pj + р\, s7^,
V С44С33' Ь1= с44[с13^с13+ 2с44^*_ 2С33^С11_ С12^] {Pl + Pl) ~
'С44^С44 + 2С33/ 5 '
Ь2 2 [С44^С11 С12^ + (СИ С12^С11С33
(с13 + ^44) )J (Р\ + Р2) ¦*" [2C44^CH ~ С12^ 2с44 + (2.32)
+ 2С33^С11~ С12) " (С13+ С44^2]У 5 {Р1 + Рт) + (2С44+ С33/ S ' Ьъ=-
[уУ + си(р] + рЩ [УУ + си [р] + р^) ] [уУ +
Н(СЦ-С12)И + ^)];
кубическая симметрия (см. (1.73)) а2А^1' ^2> s) =: 1 ^2' plp2's )
'
^/(Pi, р2"s) = -*/(р? + Рг> P\Pv s2); изотропная среда (см. (1.74)-
(1.76)) ьо = У6/(^^)>
(2.33)
^2
~ТТ {Р\ + Р2) + s2("7
+ ~2
МК ' W П\)\
= уб f____3 /_2 _2\ ^ , 2/ 2 , l 'l
2 4^1 + ... .
12)
+ l\Z2 + ~2
(pt + pl)
2\ "2
(2.34)
w? "г
Остальные виды симметрии анизотропной среды, рассмотрен ные в § 1.5,
к новым упрощениям коэффициентов ап hi
приводят. При записи формул (2.32) и (2.34) использоваш обозначения
(1.61), а также безразмерные величины (1.81) I (1.99).
Как следует из (2.30)-(2.34), характеристическое уравненю (2.21) для
указанных видов симметрии сводится к бикубическо му:
b^6 + ijA4 + Ъ2А2 + Ь3 = 0. (2.35)
Наиболее простой вид корни этого уравнения имеют доц изотропной
среды:
Ai = -fcj = -Vpj + Р2 + rj\s2,
_______ (2
A2 3 = - &2 = - VP| + p2 + ?/2s^ > > 0.
Второй корень A2 имеет кратность 2. Таким образом,
изотропной среды могут быть найдены в явном виде собствен векторы у1 и
изображения функций влияния (2.28). Однаи|
удобнее определить функции влияния в этом случае с использ ванием
уравнений (1.87), что и является предметом рассмотрев следующего
параграфа.
Уравнения движения анизотропной среды для плоской задач
(1.78)-(1.80) в пространстве изображений могут быть получек
из (2.19), если положить р2 = 0, ру = р и u^L = 0. Харач
теристическое уравнение следует из (2.21), если в определится вычеркнуть
вторую строку и второй столбец и положить р2 = (
Оно сводится в общем случае плоской задачи (симметри относительно
плоскости (1.67)) к алгебраическому уравнение четвертого порядка:
(с55 А2 - 2йр - спр2 - уУ) [с35А2 - i(c55+ с13) Ар - с1$р2 ] ^с35^2 "
*(С55+ С1з) ^Р ~ С15Р ^ (С33* 2гсз/Р _ С55Р ~ У s )
=а^А4 + а^? + + а^А + = (
а0 ~ с55с33 - с35' а\ = -2*Р(С 15сзз - с35с13-*' (2.37
\
а2 = ^С13 + 2С55С13 ~ 2С15С35 " С11С33^ - (С55 + С33 + С3sf S '
а3 " [(Cj j С35 с15с1з)Р + (с15 + С35)У s J > а4 = (С11С55 " С15^Р +
(СИ + С55^ Р S +У s "
54
Отметим, что в этом случае свойства среды определяются шестью
упругими постоянными сп, с)3, с33, с15, с35 и с55.
Явный вид корней уравнения (2.37) имеет очень сложный вид и не может
быть использован для построения аналитических выражений оригиналов
функций влияния. Возможные частные случаи симметрии для плоской задачи
(см. § 1.5) приводят к следующим результатам. Для ортотропной (1.69) или
трансвер-сально-изотропной среды (1.72) движение определяется четырьмя
упругими постоянными си, с13, с33, с$5 и характеристическое
уравнение является биквадратным:
М4 + + *2 = "1 = "з s О, Z>0 = а0 = с33с55,
= а2= (с13 + ^с55с13 - С11СЗэ) Р2 ~ (с55 + с3э) У s =
= ~css(c5^> + У s ) -С33^С11Р + У s2) + (с1з + с55) Р > (2.38)
b2 = a4 = CUC5SP4 + (с11 + + А4 =
= (спр2 + yV)(c5/ + уУ).
Формулы для корней уравнения (2.38) могут быть выписаны в явном виде.
Однако по-прежнему являются достаточно сложными. Рассмотрение среды с
кубической симметрией (1.73) уменьшает число упругих постоянных до трех
(си = с33), что не
упрощает задачу обращения интегральных преобразований. Существенное
упрощение имеет место для изотропной среды. Формулы для корней (2.38)
следуют из (2.36), вде необходимо положить Р2 = 0, Pj = р.
Для осесимметричной задачи естественно ожидать результаты,
аналогичные выводам для плоской задачи.
§ 2.3 Функции влияния для упругого
изотропного полупространства
В постановке § 2.2 рассмотрим задачу об определении изображений
