Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
-7Дх, r) =
>7 2 xL'f7~'^~rf{x лРг R2l(x2, r2)
- JZl x~R22('x2, -----ГТ _ r / v
~ л0" P /v2 т2ч V " G/3^' ( }
л§.
2 /"4(ДГ,0
2
r) = ^2Л- - 2тj + 4тVr - VTT^.
69
Формулы (2.65) и (2.66) окончательно приводят к следующему
результату:
2
Gf(x, г) = ]Г Gfk(x, х)Н(х - г}к 1x1),
к=' 4 4Лу-б,у> <2'67)
Gfl ~ лр2 ^2 ^ Vt ^2х
Покажем, что функция (2.67) имеет сингулярную особенность. Для этого
заметим, что многочлен Р4(х, т), как следует из
его определения в (2.65), можно представить так: р4(*> т) =
г]2хРг{х, т) = Д21(х, т)К22{Х, т),
(2.68)
Р3(х, т) = т] х - 8г] х х + Щ (2 + к)хг - 8(1 + к)т ,
R2l(x, т) = (rj2х - 2т)2 - 4т Vт - х Vt - rj2x,
R22(x, т) = (г]2х - 2т)2 + 4tVt - х Vt - т]2х.
Здесь и далее в качестве масштаба безразмерных величин в
(1.99) выбрано с+ = с{, = р, что дает
r]l = 1, т}2 = г/, Р2 = 1/т}2, у = 1, fix = 1.
(2.69)
Очевидно многочлены Р4(х, т) и Р^(х, т), а также
функции
Л21(х, т) и R22(x,x) (см. (2.63) и (2.64)) можно
записать
следующим образом:
Р4(х, т) = x47]2zP3(z, 1) = x4R21(z, 1 )R22(z, 1), z = х/т. (2.70)
Многочлен /}3(z, 1) во всем диапазоне изменения параметра 0 < к < 1
имеет действительный корень г.- с2 [179, 182], где
1 л
с"- скорость распространения волны Рэлея. Для исследования 1\
двух других корней рассмотрим многочлен
Рф) = Р3{-у/у2, 1) = Уг + ь2 + 8(2 + с)з> + 8(1 + /с),
^
- 1 < = -Г] Z| = -7] CR < 0, ^зоО^) =
Его дискриминант имеет вид
3 3
°з(к) = (з) + (f) = ^Д3(*)'
а72)
70
Л3(к) = /с3 + -^К2 + у^/С -
-ч 8 /t1 Лг ч к 2 2
р = ^(3к -2), д= 27(11 - 45л:), v = у-^, у = у--,
! с v-коэффициент Пуассона.
Можно показать, что дискриминант многочлена А3(/с) больше гс'.чя, и
существует единственный действительный корень /с+ многочлена А3(/с). При
этом для D^(k) имеем
D3(kJ = О,
D3(k) <0 (0 < к < кф, 0 < v < vt, 2 < rj1 < г]2), (2.73)
D-,(k) >0 (лф < к < 1, vt < v < 1/2, г]2 < г]2 < +°о),
лф (r) 0,357003205, v" * 0,263082064, т/2 = 3,1104351.
Таким образом, многочлены Р30(у) и P3(z, 1) имеют три
р пличных действительных корня при 0 < к < к^, а при <
< к < 1 один корень действительный, два других комплексно ( "пряженные.
Зависимость корней Zj, z2, zg многочлена /^(z, 1)
or параметра /с представлена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Корни z( знаменателя в решении задачи Лэмба
71
Укажем явный вид корней многочленов P3(z, 1) и Р^у) npi
некоторых частных значениях упругих постоянных среды. Ohi
равны
и V Ш С
3-V3T . 3 + VS
при v "в 0 (к "* 0, у2 * 2)
2 д - уд ,
2j " Сд =" j * г2 а ' гз-----------2 '
yj в -3 + vT, у2 " -2, у3 = -3 - VJ;
иры v " 0,25 (А * ц, к * 1/3, >/2 * 3)-среда Коши [125, 160
*i г2ж|(1+^)> z3=|'
yj " -2^1 - , yj * -2|l + , y3 = -4;
при V в (к я" J/2 * J72) IT'I 0,2730271,
z, = z, =* -~
2 3 з,2
* 1,149479,
\
*
4 у 45кф -11 2 3/
У1--j 2 - V --------*---- , y2= y3= -j 4 + У
45k - 11
npu
3 \ 2 )' n 3\ 2 )'
v - 1/2 (/c = 1, j?2 = oo)-акустическая среда (см. § 1.6)
2 n
Z1 (r) z2 * z3 " Cj = U,
yj * = ~Уцj = -8/3 + ы + v " -0,9126242,
v - |ЧШГТ * 2,164676, u * -8/(9v) * -0,4106336,
8 u + v^.u-vn y2,3 * - 3 2~ ,T~
Отметим, что, как показывают исследования многочлена P3(z, 1), а
также рис. 2.2, для корней zp z2 и z3 справедливы
следующие неравенства:
72
0<Z1 =а4< (0 s л < 1)> z2 3*1 (0 < к S л,). (2.74)
Заметим, что многочлен P3(x, т) можно представить в виде произведения
элементарных множителей
Р3(х, х) = г)6(х - с\т)Рг(х, т),
Р2(х, г) = х2 - 2а\х + /32г2,
а2 * Щг - с\П = 2(1 - к) - с*/2,
/З2 = 4 - 8с2/>/2 + 8(2 + ж)/>74 * 8(! + к)/(764) * (2.75)
- 16(*2 - 1)/(7*ф,
D2(K) = 4(a4-^2), 1>2(к,) = 0,
?)2(/с) >0 (0 ^ /с < kJ, i)2(/c) <0 (к0< tc < 1),
где ?>2(k)-дискриминант многочлена P2(z, 1).
Таким образом, формулы (2.67), (2.68) и (2.75) показывают, что
функция влияния Gfx, г) имеет степенную особенность
порядка (-1) на фронтах волны Рэлея: т = ±cRх.
§ 2.6. Оригиналы функций влияния
в пространственной задаче л
